XXXV. — Des foyers et des locales des surfaces

On appelle /bjrer d'une surface le centre d'une sphere de rayon nul, doublemcnt tangente a la surface.

INFINIMENT PKTITS DU I er ORDRE DANS i/BSPACE. 3lJ

La sphere de rayon nul est un cdne : on peut done dire aussi que le foyer d'une surface est le sommet d'un c6ne isotrope doublement tangent k la surface.

II r^sulte de Ik qu'un foyer est un point d'ou Ton peut mener deux plans tangents isotropes k la surface.

Joiguons le foyer F aux points de contact M et M' avec la surface du c6ne isotrope de sommet F; FM et FM' seront deux generatrices du c6ne isotrope bitangent : ce seront deux droites isotropes tangentes a la surface.

Ceci pose, on appelle focale d'une surface le lieu de ses foyers.

Assujettir une sphere a toucher une surface, e'est I'assujettir k une seule condition; l'assujettir a £tre doublement tangente k une surface, e'est l'assujettir a deux conditions ; l'assujettir a avoir un rayon nul, e'est l'assujettir k une troisieme condition : done, en general, il existera un lieu de foyers qui sera une ligne.

Ainsi se trouve demontr£e l'existence des focales. Mais on peut en donner une autre definition qui aura son utility.

Par tous les points F de la focale $ de la surface S, faisons passer les cdnes bitangents ; soient FM et FM' les generatrices de contact et appelons P et P' les plans de contact correspondants. Le plan P coupe le plan infiniment voisin suivant une droite isotrope passant en F, et qui ne peut £tre qu'une gene*ratrice du c6ne isotrope ayant son sommet en F; cette droite est alors FM; les generatrices de contact FM et FM' sont done des generatrices de la developpable isotrope circonscrite k la surface S. Or cette developpable est bien determin£e, puisque, son equation diflferentielle etant

jpt + ^ + I=0}

e'est aussi Inequation de sa courbe de contact avec la surface . Cette developpable se coupe elle-meme, puisque deux de ses generatrices passent par un m£me point (sans faire un angle inurnment petit); elle a done une ligne suivant laquelle elle se coupe elle-meme ou, comme on le dit quelquefois, une

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ligne double ou singuliire. Cette ligne double est la focale de S. Ainsi :

La focale d'une surface est la ligne double de la developpable isotrope circonscrite a la surface.

Deux surfaces sont homofocales quand elles ont les m£mes focales.