XXXVI. — Focales et foyers des surfaces dn second ordre
On trouvera facilement les focales des surfaces du second ordre en observant que, si S = o d£signe une surface de cet ordre, S -j-XPQ = o, P et Q repr£sentant deux polynomes du premier degr£, represente liquation des surfaces du second ordre bitangentes a la premiere. En exprimant que cette surface est une sphere de rayon nul
a, (3, y repr^senteront les foyers : on devra done avoir identiquement
[x £tant un facte ur constant, ou
S- l x[( a r-«)t-«-(jr-p)t- t -(^- Y )«] = XPQ.
Le premier membrc de cette identity devra done se ramener a une somme de deux carr£s.
Soit
S = kx* -f- B/» -+- Cz* - II = o
liquation donn£e,
devant &tre une somme de deux carr^s, il est n£cessaire qu'une des variables disparaisse : done a = o et jjl = A ; done
Bji-f. c*» - A[(j -p)*-h (z - ■/)«] - H
INFINIMENT PET1TS DU l cr ORDRE DANS L'eSPACE. 3l9
doit e'tre une somme de deux carr£s ; or cette quantity peut s'e'crire
(B — \)y* -+- (G — A)** -+- 2 A $y + 2 k^z — A(P» -4- y 1 ) - H ou
A j As A*v*
et sera une somme de deux carr£s si Ton a
BB* Cy* H
Cette Equation jointe & a = o repr^sente la focale. II y a done trois coniques focales, une dans chaque plan principal. Quand H = o, ces coniques se r^duisent & des droites; ainsi les c6nes ont pour focales des lignes droites.
Supposons qu'il s'agisse d'un ellipsoide dont les axes soient 2a > ib > 2c; les focales auront pour Equations
Jl
La premiere est imaginaire, la seconde est une hyperbole, la derniere une ellipse.
On voit que ces Equations ne dependent que des differences des axes ; les surfaces comprises dans la formule
sont done homofocales, les sections principales ont les memes foyers. L'etude de ces surfaces homofocales sera faite plus loin.
Pour trouver les focales du paraboloide
320 CHAPITHK IV.
on devra faire en sorte que
Pj«4- Q^ j — iz — X [(x — <x)» -4- (y — P)* -H (* — Y) 1 ]
soit une somme de deux carr^s ; il faut done que X = P ou Q et que a ou (3 soit nul ; il faut ensuite qu'en d^composant
en caries, on n'en trouve que deux, ce qui exige que
PQa* aQY— i Q-P"' Q ~ '
En particulier, pour le paraboloi'de
P 9 on a les deux focales
— 2Y -t-/> = Oj
qui sont des paraboles.
Nous 6noncerons seulement les propri£t£s suivantes des focales, sans les demontrer :
Leplan tangent et la normale en un point d'une surface du second ordre rencontrent un plan principal suivant un point et une droite qui sont f Vun le pdle, et C autre la polaire correspondante de lafocale. (Ghasles.)
La distance d } un point de la surface a un foyer est un produit de deux fonctions lindaires. (Amiot.)
Si Von appelle foyer d'une courbe du second degri dans Vespace les points tels que leurs distances a un point de la courbe soient des fonctions liniaires des coordonnees de ce point. Les points d 'une focale seront les foyers de I' autre. (Amiot.)
La somme ou la difference des distances de deux foyers fixes d'une courbe de second degri a un point de cette courbe est constante.
INFINIMKNT PBTITS DU l er ORDRE DANS L'bSPACB. 3ai
Dans un cdne, les focales se riduisent & des droites rielles ou imaginaires, ainsi que nous Vavons fait observer; ces droites focales jouissent des propriitis suivantes:
La somme de* angles que font les plans passant par une gineratrice du cdne et les focales est constante.
Un cdne du second degre est coupi par une sphere suivant une courbe appelie ellipse sphdrique, quand le somme t du cdne est au centre de la sphere. Les focales rencontrent la sphere en des points appeUs foyers et tels que la somme des rayons sphdriques, issus de ces points et aboutissant a un point de la courbe, est constante.
