XXXVII. — Surfaces homofocales du second degre
Liquation g£n£rale des surfaces homofocales du second degrl, c'est-a-dire des surfaces ayant les m£mes focales, est
(l) -5 h -rf \- -; = I,
p dlsignant un paramfctre variable.
i° Ces surfaces sont telles que leurs sections principales ont les mimes foyers que celles de Vellipsoide
2° Par chaque point riel de Vespace passent trois surfaces de la famille, qui sont rielles; Vune est un ellipsolde, les deux autressont des hyperbololdes a une et deux nappes.
En effet, si Ton se donne x, y, z, il en r£sulte pour p trois valeurs, en vertu de liquation (i) qui est du troisi^me degr£ ; ces trois valeurs sont r£elles : pour s'en assurer, il suffit de supposer a^>b>c et de faire, successivement,
p = — oo, p = — a*— e, p = — a*-+-e, p = — 6 s — e,
p = — 6* -h e, p = —c*—t, p = — c* -t- e, p = °°> L. — Traite d' Analyse, II. ai
e d£signant une quantity tris petite, mais positive; la fonction -j h -rj£- 1 — - i prend les signes respectifs
II y a done une racine entre — a 2 et — ft 2 , une enlre — b 2 et — c 2 , une entre — c 2 et -f- oo ; appelant X, jjl, v ces racines, on a, pour les Equations des trois surfaces r^elles passant en x,y 9 z,
a*-h jx
et, en supposant
la premi&re surface sera un hyperboloi'de & deux nappes, la seconde un hyperboloi'de a une nappe et la troisi&me un ellipsoide.
3° \, u, v etant donnis, onpeut se proposer de calculer x, y y z.
A cet effet, observons que \ |x, v sont racines de liquation (i), qu'on peut ecrire
u u-hb* — a 1 it + c 1 — a 1 ~ '
en posant p = u — a 2 ; cette Equation elle-m£me prend la forme entire
x*( u -H b 1 — a*)(a + c ! - a*)4- ... — u(u -+-b* — a*)(it -+- c*—***) == o.
Le produit des racines est x 2 (b 2 — a 2 )(c 2 — a 2 ); or les racines sont X + a 2 , |x 4- a 2 , v -+- a 2 : on a done
1NFINIMBNT PETITS DU I er ORDRE DANS l'bSPACB. 3*3
ou
v -na 1 )
-+-C 1 )({JL-+-C 4 )(V
4° Z»C5 surfaces homofocales (i)se coupent a angle droit, c* est-a-dire que leurs plans tangents, ou leurs normales aux points communs, se coupent ainsi.
En effet, si Ton re tranche, par exemple, Tune de l'aulre les
formules (2), on a
comme
(a«-f-X)(a*H-|x) ~ (a«-+-X) ~~ («*-+- jx)'
on peut ^crire liquation pr£c6dente ainsi
xx y y z z
a* + U ! + |x fci + X^-f-jx c*-4-X c?-+- jjl '
ce qui exprime que les directions
a*T~X' b*-h\' c>-4-X et
^-Hjx' 6*H-|a' C*-f-JJL
des normales aux surfaces (2) en x,y, z sont rectangulaires ; done, etc. c. q. f. d.
