XXXVIII. — Points correspondants

On appelle points correspondants, sur deux surfaces homofocales de mdme fa mil I e et de m£me espece, deux points situ6s sur une m£me courbe du quatrieme ordre, intersection

324 GHAP1TRB IV.

de d>eux surfaces homofocales, orthogonales a celles-ci et d'esp&ce differente.

Ainsi, deux points correspondants sur deux ellipsoides homofocaux sont deux points situ£s sur la courbe d'intersection de deux hyperboloides homofocaux a ces ellipsoides, Tun a une, l'autre a deux nappes. Les points correspondants jouissent de propri£t£s curieuses qui ont £t£ utilises en M£canique et c'est pour cette raison que nous les ferons connaitre.

D'abord faisons varier v dans les Equations (3) en faisantX et pi £gaux a des constantes. On voit que, si od ,y* , z 1 d£signent les valeurs que prennent x,y, z quand on y remplace v par v',

on a

done les coordonnees de mime nom de deux points correspondants sont entre elles comme les axes qui leur sont parallHes.

En posant^^+^/^-^et non ^__ i ,... > <m

fera correspondre sans ambiguity un point d'un ellipsoide a un autre point et a un seul de l'autre ellipsoide : c'est ce que nous ferons a Tavenir.

Theoreme I. — La difference des carres des distances des deux points correspondants au centre est const ante.

En effet, d'apr&s les formules (3), on a

/ tm j* /.x V (^ H-a J )(M.-+-a 1 )(v — v') x t + y t + z > (a * +y, + *>>)= ^ (a ,6, )(a , c ,)

= X,x(v-v')^ ^ 6 , ) , (at c , )

+ X ( v - v, )2 ( a»-6«Ka»-c»; + |X(V - v')^ (a ,^ a t c ,

INFIIUMENT PETITS DU i" ORDRE DANS L'ESPACE. 3a5

les coefficients de \p, \ [A, sont identiquement nuls, celui du dernier terme est £gal a un : done la difference en question est v — v'. c. Q. F. D.

Teoreme II. — Soient M et N deux points, M' et N' leurs

correspondants ; on a