XL. — Paranoides homofocaux
Les focales du paraboloi'de
sont
celles du paraboloi'de
sont
(P + h) — (q-hh) v * '
ou
Les paraboloi'des
sont done homofocaux :
i° Les coordonnies des foyers des sections principales sont z = £ > z= %■; ces foyers sont done les mimes pour toutes les surfaces considir&es.
3a8 GHAPITRB IV.
2 Par chaque point riel de I'espace passent trois parabolo'ides de la famille (i), deux elliptiques inversement semblables et un hyperbolique.
En effet, si Ton se donne x, y, z, liquation (i) sera du troisi&me degr£ en /t, et si Ton fait, en supposant p >> q et e positifet infiniment petit,
A = — oo, h = — p — £, h = — p -r- t y h = — <y — e, la quantity
h -\-p h-\- q prendra les signes respectifs
il y a done une racine de (i) entre — oo et — p 9 une autre entre — p et — q, et n£cessairement une troisi&me entre q et -f- oo . Soient X, p., v ces trois racines ; les Equations des parabolo'ides homofocaux passant en x, y, z seront
p -hX q -+- X (a) { h - * — = %z -+- |x,
! ^ — = asH-v;
/> ■+■ v gr -+- v
la premiere etla derniere reprdsen tent des parabolo'ides elliptiques, la seconde un paraboloid e hyperbolique.
3° \ [x, v itant donnis, onpeut se proposer de calculer
On y parviendra comme il suit : on dliminera d'abord z par soustraction et Ton aura
(/>+-X)(/>-hv) (y-^XX^-i-v)
INFINIMBNT PETITS DU I or ORDRB DANS L'bSPACE. 32g
en consid^rant alors - et * . comme inconnues, on
aura
4° Les paraboloides homo/ocaux (2) se coupent dangle droit.
Pour le d£montrer, il suffit de retrancher membre a membre deux des formules (2); on aura
ce qui exprime bien que les deux directions
qui sont celles de deux normales aux surfaces homofocales, sont rectangulaires.
On peut consid£rer, sur deux paraboloides homofocaux, des points correspondants ; leurs propri£t£s sont analogues a celles des points correspondants sur deux ellipsoides homofocaux.
