XIV. — Theoreme de Poinsot

Les considerations pr£c6dentes touchent de tr&s pr&s a un th6or&me remarquable du a Poinsot (*) et que nous allons d^montrer.

Soient p, q> r 9 ... les distances d'un point M a des lignes fixes P, Q, R, . . . , distances comptees sur les normales menses de ce point M & ces lignes, liquation

difinira en general une courbe, et la normale & cette courbe au point M s'obtiendra en cherchant la risul-

tante de droites egales a -r- > -r- > • • • respectivement por-

ties hpartir du point M sur les lignes /?, q, r, ... vers les

lignes P, Q 7 R, . . . , ou en sens inverse suivant que j- >

■— > • • • seront positifs ou n&gatifs*

En effet, soient x, y les coordonn^es de M, soient a, b les coordonn^es du point ou la normale/? rencontre la ligne P; a! j V les coordonn^es du point ou la normale q rencontre la ligne Q, . . . ; nous aurons

^ ' dx dp dx dq dx

et, en diflferentiant,

pdp = (x — a)dx -+- (y — b)dy — (x — a)da — (y — b)db\

(') Ou du moins utilise par lui dans une circonstance importante.

mais (x — a)da-\-(y — b)db est nul, puisque le deplaceinent da, db y effectue' le long de la ligne P, est normal a la direction x — a, y — b de la droite p\ on a done

dp = dx -+- ^- dy.

En appelant a Tangle de la droite/? avec l'axe des x, on a

done

— — = cos*, = sin a,

dp = cosac&r h- sina^K;

dp dq

^=cos«, ^=cosa,

a', a", ... designant les angles que les droites y, r, ... font avec l'axe des x, liquation ( i ) devient alors

(2) -— = ^-cosa-f- -~-cosa -f- -r-cosa -+-

7 ox dp dq dr

Or, si Ton pose