XLII. — Quelques problemes sur la droite et le plan
surfaces developpables.
II y a des surfaces qui ne peuvent pas £tre representees par une Equation tangentielle : ce sont les surfaces d£veloppables, parce que leur plan enveloppe ne doit contenir qu'un seul param&tre variable; il faudra done, pour definir une surface developpable, deux equations. Reciproquement, deux equations entre des coordonnees tangentielles representeront Tenveloppe du plan
dans Tequation duquel il ne restera plus qu'un seul parametre variable; ce sera done une surface developpable. Mais considerons les deux equations
d'une developpable; chacune d'elles represente une enveloppe. Si Ton consid&re les coordonnees £, 7j, £ d'un plan satisfaisant aux equations (2), (3), ce plan sera tangent k (2) et k (3), mais il le sera aussi k la developpable (2), (3); cette developpable est done circonscrite aux surfaces (2), (3).
Ainsi deux equations ne representent pas une courbe, mais bien une surface developpable. Toutefois, on pourra consi-
de>er aussi une courbe comme representee par les Equations de la surface d£veloppable, lieu de ses tangentes.
Deux Equations du premier degr£ represented Tenveloppe d'un plan qui ne contient qu'un para metre variable au premier degre et, par suite, representent une Hgne droile par laquelle passent tous les plans en question et qui est leur enveloppe.
Si Ton considere trois Equations en coordonnees tangentielles, leurs solutions communes seront les coordonn£es d'un plan qui les touchera toutes les trois. Trois Equations du premier degre determineront done un plan passant par les trois points repr£sent6s par ces Equations.
Probleme. — Trouver V equation des points situes sur un plan donne.
Liquation g£ne>ale du point est
Si Ton designe par £', r\ r , £' les coordonne'es du plan, on exprimera qu'il passe par le point donne*, en ecrivant que ce plan, dont Fequation est
contient le point dont les coordonnees sont -^> -^, w' ce fl 1 " donne
II suffit, comme on voit, d'exprimer que les coordonnees du plan satisfont a l y equation du point.
Plus generalement : Pour exprimer qu 9 une surface
touche un plan £', V> £', il suffit d'exprimer que Von a
carles solutions de (i) sont, par definition, les coordonnees de ses plans tangents.
INFINIMENT PETITS DO I or ORDRE DANS l'eSPACE. 335
Pour r^soudre un probleme quelconque de coordonne*es tangentielles, on peut, quand on ne veut pas proceder directement, avoir recours aux. coordonn£es cart6siennes et transformer les formules trouv^es en coordonn£es tangentielles.
Propo sons-no us de r£soudre la question suivante :
Probleme II. — Trouver la distance d } un plan (? \t\ , £')
a un point
Liquation du plan est
les coordonnees du point sont — -jj — n> — -3; la solution demanded est done
le premier mem b re de liquation d'un point est done, a un facteur pres, la distance du plan (£, 7}, £) au point.
Probleme III. — Trouver V equation de la sphere ayant son centre a I'origine.
Cette sphere est l'enveloppe d'un plan situe" a la distance R de Torigine ; il faut done exprimer que le plan
est a la distance R de I'origine : liquation de la sphere est done
ou bien
en posant pour la symetrie p = -g •
Ces quelques exemples suffisent pour montrer comment on aborderait les autres questions que Ton r£sout, dans les 6le-
336 GHAPITRE IV.
ments de G£om£trie analytique, avec les coordonn^es ordi-
nances.
