XLIII. — Recherche dee points de contact des surfaces
avec lenr plan tangent.
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une surface d£veloppable donnee par les Equations
?(£,*!, C) = o, <KS-, 7), C) = o;
considerons deux plans tangents infiniment voisins £, yj, £, et £ •+• d%i *1 •+• dr n £ -j- tf£; ils se coupent suivant une g£n£ratrice; les Equations de cette g£n£ratricc sont de la forme
E — \ H — 7] Z — C et Ton verrait qu'on peut aussi les mettre sous la forme
do dq> do
Si Ton consid£re alors uniquement la surface cp = o, en faisant varier la forme de la fonction tj>, toutes les droites (i), (2) passeront par le point fixe (1) ; or ces droites sont des generatrices des d£veloppables circonscrites a cp = o. Ellespassent toutes par le point de contact correspondant au plan £, q, £; done (1) est pr£cis£ment liquation du point de contact du plan 5, *»i, £ avec la surface cp = o.
On arrive au m£me r^sultat en cherchant Pintersection des plans 5, *|, C, £ + h } y| + k, X> + I et 5 + A', vj + f 9 £ + /'. En rendant liquation cp = o homog&ne, l'equation (1) pourra 6tre remplac£e par
d ? d 9 dy Ap
INFINIMENT PBTITS DU I er ORDRB DANS l'ESPACE. 337
On appelle classe d'une surface le nombre de plans tangents qu'on peut lui mener par une droile donnEe. II est facile de voir que la classe d'une surface est egale au degre de son Equation tangentielle.
En effet, soient
les Equations d'une droite et
liquation tangentielle de la surface. Les solutions communes a ces trois equations seront les coordonnees des plans tangents a la surface enveloppant la droite D ou passant par cette droite; le nombre de ces solutions est Egal au degre de/.
Une surface de classe m est de degre m(m — i) 2 , et une surface dordre m est de classe m(m — i) 2 .
En effet, si Ton cherche en combien de points la surface S coupe la droite (D), il faudra exprimer que le point de contact du plan (£, i\ 9 £)
est situe* sur la droite (D), ou, ce qui revient au m€me, que deux plans £ , *U> £oi T o el lii!*h> £u T < passant par cette droite passent aussi par le point (P), ce qui donne les deux Equations
Ces Equations, jointes a (i), font connaitre les plans tangents : ils sont bien au nombre de m(m — i) 2 ; l'autre partie de la demonstration a dEja 6l& donnEe plus haut. Nous nous L. — Traite d' Analyse, II. a 2
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trouvons ici en face d'un paradoxe d£ja rencontr£ et expliqu£ en G^om^trie plane.
On appelle classe d'une courbe ou de la dlveloppable k laquelle elle sert d'arete de rebroussement le nombre de plans tangents que Ton pcut mener a cette d£veloppable par un point donn^.
La d^veloppable qui a pour equations
la premiere du degre m, la seconde du degr£ /i, est circonscrite aux surfaces <p = o, ^ = o; sa classe est mn. En effet, consid£rons un point
a \ ■+■ br\ -*~ C K ■+■ d = o;
le plan tangent a la d^veloppable qui passe par ce point satisfait aux Equations (i) et (2) qui sont des degr£s m, n 9 1 : il en r£sulte que le nombre des plans tangents cherch£s est bien mn, comme nous l'avions annonce.
