XLIV. — Des coordonnees tetraedriqnes

Soit, en coordonnees tetraedriques ordinaires,

x % -^-yi ■+- ~£ -+* iz = °

liquation d'un plan; si Ton £crit entre les variables £, r n £, une relation homog&ne

ce plan enveloppera une surface. Pour trouver liquation de cette surface, il faudra, conformement aux regies etablies plus haut, ecrire les Equations (1) et

&r, dt

INPINIMENT PETITS DU I ir ORDRE DANS L'eSPACE. 339

et£liminer entre elles £, tj, £, x; ces Equations peuvent s'dcrire

x d\ y d*\ z dXi t &z

Pour effectuer r^limination, on Egalera ces rapports a une inde'termine'e p, que Ton Eliminera £galement.

Au contraire, si Ton donnait en coordonne*es t£tra£driques liquation d'une surface

Axjy,*, O = o,

on exprimerait que le plan (1) lui est tangent en £liminant x,y, z, t entre cette Equation (i) et les Equations suivantes

i df

£ ~dx

1*1 7j Oy

x di l

ainsi qu'on Fa vu plus haut, ce qui £tablit imm£diatement une grande analogie entre les deux problemes.

Liquation (2 ) pourra done 6tre regarded comme une Equation, en coordonn^es tEtra^driques tangentielles, de la surface enveloppe du plan (1). Nous ne recommencerons pas ici une thEorie deja faite a propos des coordonn^es ordinaires; nous nous bornerons a Enoncer quelques propositions :

U equation tangentielle d'une surface s'obtient en exprimant que le plan (1) est tangent a la surface.

Ainsi liquation tangentielle de la surface l£ AijX(Xj = o, ou x y = x, x 2 = y, x z = z, j? 4 = t, est

Aai

Ajj

Au contraire, liquation tEtraEdrique ordinaire de la surface enveloppe \] a ij\i\j -- o s'obliendrait en rem platan t dans le determinant precedent A par a et 5, 7}, £, 1 par x, y 9 3, t.

340 CHAPITRB IT.

Deux Equations simultanees reprisentent une surface d&veloppable.

Une equation du premier degre represente un point.

Deux equations du premier degre representent une droite, etc.

On peut donner une interpretation geom£trique assez simple des nouvelles variables £, *i> £, t.

Observons lout d'abord que, si 1'equation d'un point est

a\ -+- bt\ -h c£ -h di = o,

ses coordonn£es t^traedriques ordinaires s'obtiendront en portant la valeur de t tir£e de la dans liquation (1), ce qui

donne

\{at — dx) -+- r t (bt — dy) -4- ^(ct — dz) = o;

en £galant a z£ro les coefficients de £, r,, £, on a

Ainsi, dans liquation tangentielle du point, les coefficients sont proportionnels a ses coordonn^es t£tra£driques, de mime que dans liquation du plan ses coefficients sont proportionnels a ses coordonnees tangentielles t£tra£driques.

Supposons que les faces du t£tra£dre de reference aient respectivement pour Equations

x = x x X -j- j3*Y -*- y^Z — 8 X = o, y = oiyX -+- Py Y -+- Yj-Z — o r = o, 5 = a s X-r- p s Y-+- y-Z — 8- =o, t = a,X-h p,Y-f- y«Z — o, = o;

le plan (i) aura pour Equation, en coordonnees ordinaires, Posons

+ (M + M + M +■ P' T )' + (T*5 + Yr*) + Tit + W = G«;

INFINIMENT PETITS DU l er ORDRE DANS i/ESPACK. 3£l

design on s enfin par V le volume du t£traedre de reference et par a y 6, c, d ses faces; ses hauteurs seront

ee seront les x y y, z et t des sommets. Ceci pos6, la distance du so m met y = o, z = o, ^ = oau plan (i) sera donn£e par la formule

v 5 Px - Z~a ~G'

les distances p r , p z , p t des autres sommets au m6me plan seront donnees par les formules

^"36G > ^""J^G' ^~3rfG ;

on tire de la

\ : a/? x = Tj : fy? r = £ : cp z = t : dp t .

Les coordonne"es 5, *1> £, t sont done proportionnelles aux distances du plan (i) aux sommets du t£traedre et aux faces de ce teHraedre; en sorle que, si Ton considers it le plan

(4) ap x x ■+- bp y y -4- cp z z -4- dp t t = 0,

Pxy Pyy Pz, Pt seraient les distances de ce plan aux sommets du te'lraedre de reference et liquation tan gen tie He

V^PxiPyi Pz, Pt) =

serait une relation entre les distances aux sommets du triangle de reference d'une tangente a la surface qu'elle represente.