XLV. — Remarques an sujet des coordonn6es tangentielles

Nous ferons une remarque sur les coordonn^es tangentielles dans l'espace : les coordonn&es d'un point et d'un plan sont des variables contragridientes, II en requite que, les equations ordinaires et tangentielles d'une surface £tant/= o et cp = o, /et <p sont des contrevariants.

34a CHAPITRE IV.

Si J est du second degr6, cp sera son adjointe ; car la substitution lin£aire effectu^e sur/, telle que

fournit pr£cis6ment la fonction <p.

II est facile de voir que liquation tangentielle d'une surface repr^sente, en coordonn6es ordinaires, la transformed par polaires r£ciproques de cette surface par rapport a la sphere

imaginaire

Les coordonn£es du pdle du plan tangent

ox oy oz ot

sont donn6es par ces formules

5 ' dx ~ ^ ' c(x " * • oz ~ ' ot '

obtenues en identifiant liquation du plan tangent avec le plan polaire de £, r n £, i par rapport a la sphere, soit

X$H-Y7)-t-ZC4-T'c = o.

EXERCICES ET NOTES

1. Circonscrire a une sphere un conoide d'axe donne et trouver la projection de la courbe de contact sur le plan directeur du conoide. Eludier specialement le cas ou le conoide est droit.

2. Circonscrire a une surface du second degre une surface de revolution d'axe donn^; montrer que la courbe de contact est une biquadratique gauche (ou une de ses varietes).

3. Montrer que toute courbe gauche du troisieme degre peut €tre representee par des equations de la forme

u, v> (v, designant des polyn6mes du troisieme degre en t.

INFINIMENT PETITS DU I er ORDRE DANS l'eSPAGB. 3^3

Trouver l'equation de la developpable, lieu des tangentes a cette courbe.

Reciproquement, les equations (i) represcntent une courbe gauche du troisigme ordre. Une telle courbe peut toujours 6tre placee sur deux surfaces du second degre* ayant une gene rat rice commune.

4. Trouver la surface .qui, par rapport a un point donn6, admct pour podaire une surface donnee S (cas ou S est un plan, une sphere).

5. F(j t , s t , Stj ...) = o 6tant l'equation d'une surface, s ly s t , ... d£signant les premiers membres d'equations de spheres, mener le plan tangent a cette surface.

6. On fait tourner la courbe y = o, x = sin z autour de l'axe des z ; elle engendre une surface de revolution R. Prouver que, si Ton eclaire cette surface R par des rayons lumineux paralleies et a 45° sur l'axe des z, l'ombre propre se projettera sur le plan des xy suivant deux cercles. L'ombre portee sur le plan des xy est une cyclolfde.

(Dunesme.)

7. Si Ton conside're la surface de revolution engendrce par une conique situ^e dans le plan des zx ayant ses axes paralleies a l'axe des x et a l'axe des z, tournant autour de l'axe des z, cette surface, eclair£e par des rayons paralleies, aura pour courbe d'ombre propre une ligne qui, projet£e sur le plan des xy 9 fournira une conchoi'de de conique. — Trouver la courbe d'ombre portee sur le plan horizontal.

(Dunesme.)