La surface
x* -4- y* -4- z z — 3 xyz = a 8
est de revolution, trouver et etudier le meridien.
9. .Trouver la condition pour que l'equation gen^rale du troisieme degre rendue homogene represente un c6ne.
10. Toute surface de revolution touchee par un cone ou un cylindre suivant une courbe plane est du second degre. (De la Gournerie, Journal de I'jScole Poly technique ; i858.)
44. Trouver l'equation de l'enveloppe d'une sphere de rayon constant dont le centre decrit une helice. (L'heiice a pour Equations x = acos<p, y = a sin®, z = 6<p; a, b designant des constantes et ^ un para metre variable.) La surface en question est la vis Saint- Gilles. Trouver la courbe d'ombre propre ou d'ombre portee de la vis Saint-Gilles sur l'un des plans de coordonn£es.
12. Trouver l'enveloppe d'un plan mobile qui detach e dans un triedre trirectangle un teiraedre de volume constant.
13. Trouver l'enveloppe (imaginaire) d'une se>ie de surfaces du second degre* homofocales.
14. Trouver l'enveloppe d'une serie d'ellipsotdes ayant m£me centre, me" me direction d'axes et me'me volume.
15. Par un point de l'espace, on mene des plans paralleles au\ plans tangents du cone asymptote d'une surface du second ordre; ces plans coupent la surface suivant des paraboles; ces paraboles ontelles une enveloppe?
16. Quelle est l'equation generate des surfaces developpables du troisieme degre\
17. L'arete de rebroussement d'une surface d£veloppable etant de degre m, quel est le degr£ de cette surface?
18. Liquation de la d^veloppable circonscrite a deux surfaces du second ordre a ete discutee avec soin par M. Painvin (voir son Traiti lithographic de Geometrie analytique).
19. La transformee par rayons vecteurs reciproques d'une surface de revolution est aussi la transformee par rayons vecteurs reciproques d'un cone.
20. Soientjp, q, r, ... les normales communes a un plan mobile et a des surfaces fixes P, Q, R, Si Ton pose
ce plan enveloppera une surface; pour avoir le point ou ce plan touche son enveloppe, il suffit de chercher le centre de gravite de
masses ~ > ~-y • • • placees aux pieds des normales />, q, r, ... sur
le plan mobile.
21. Trouver le plus court chemin d'une courbe a une autre, d'une surface a une autre, ou d'une courbe a une surface.
22. Trouver le plus court chemin d'un point a un autre en rencontrant des courbes ou des surfaces donnees.
23. £tant donnees plusieurs surfaces, on demande de trouver un point tel que la somme des car res de ses distances normales aux sur-
INF1NIMENT PETITS DU l er ORDRE DANS L'BSPACE. 345
faces soit un minimum (ce point est le centre de gravite* des pieds des normales que Ton peut mener par ces points aux. surfaces).
24. Le nombre de normales que Ton peut mener d'un point a une courbe de degre /n est /n'(a/n — i).
25. Le nombre de plans normaux que Ton peut mener d'un point a une courbe d'ordre m est m 8 (im — i).
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