I. — Longueur d'un arc de courbe gauche

La definition que nous avons donn£e de la longueur d'un arc de courbe, en G£ometrie plane, s'applique aux courbes gauches ; ainsi la longueur d'un arc de courbe gauche est la lirnite vers laquelle tend le polygone inscrit dont les c6t6s deviennent de plus en plus petits, leur nombre croissant indefiniment.

Soient Xj y, z les coordonn^es rectangulaires d'un point quelconque de Tare en question ; la longueur L d'un polygone inscrit peut £tre representee par 1 'expression

l = V ^ a^) 1 ■+■ ( ty? -+- ( A * )'

ou

ou encore

L=2 Aa: (v /l t^ + ^ + i).

y et z' d£signant les d£riv£es de y et z, et e d£signant un infiniment petit. Si l'on construit alors la courbe plane dont l'abscisse est x et Fordonn^e

QUESTIONS DEPENDANT D'iNFINIMBNT PETITS. 3^7

Faire de cette courbe sera la limite de

et cette limite existe; la limite de2 e A# es * nulle, car c'est Faire d'une courbe dont Fordonnee est e, et, par suite,

iinL = lim \ Aa? /i -*-y'* ■+■ z'*.

liin

Nous d£signerons par s la limite de L, c'est-i-dire, par definition, la longueur de Tare. La diflerentielle de Tare, ou ds, sera la diflferentielle de Faire de notre courbe auxiliaire, differentielle £gale k son ordonnee multiplied par dx; on aura

done

ds =dx /i -T-y' 1 -v z'*

ou, en e* levant au carr<§,

ds* = dx* -h dy* -+- dz*.

Cette expression de la difierentielle de Fare la fait enlrer utilement dans diverses formules : ainsi, par exemple, les cosinus des angles que la tangente k une courbe fait avec les axes sont proportionnels k dx, dy, dz et, par suite, £gaux a

dx dy dz

yjdx* -h dy 2 -j- dz 1 ^dx* -+- dy* ■+■ dz* ^dx* -+- dy*-\- dz*

e'est-a-dire k -,- > -^-> -, ; ainsi dx, dy, dz sont les projections de la longueur ds portde sur la tangente et non pas, corn me on dit quelquefois, les projections de la corde joignant deux points voisins.