II. — Da plan osculateur
Par un point d'une courbe, on peut mener une infinite de plans touchant cette courbe, e'est-a-dire passant par deux points infiniment voisins, mais il.en est un parmi eux qui
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doit surtout altirer notre attention, c'est celui qui passe par trois points infiniment voisins; on lui a donn£ le nom de plan osculate ur.
Ainsi, le plan osculaleur d'une courbe en un point est la limite du plan qui passe par ce point et deux autres points de la courbe venant se confondre avec le premier.
Pour trouver liquation du plan osculateur d'une courbe au point x } y, z, on remarquera que, le plan devant passer par le point x, y y z, son Equation sera de la forme
A, B, C d^signant des coefficients a determiner. Exprimons qu'il passe aussi par les points x -f- A#, y + Ajk, z + Az et x -f- 2A#-+- A 2 #, y -\- 2&y -f- A 2 ^, 3 + 2A3 4- A 2 5, infiniment voisins du premier ; nous aurons
A Lx n- B ty -4- G Az = o,
A(aAa?-r A 2 a?)-4-B(aAy-+- A ! /)4-G(2A-2 + A ! z) = o;
la derniere formule peut 6tre remplac^e par
et, si alors on passe aux limites (t. 1, p. ioi), on aura pour determiner A, B, G les Equations
(a) kdx-\-Yldy-\- Cdz = o,
(3) Ad*x-+-Bd*y-^Cd*z=o.
Si, entre les Equations (2), (3) et liquation (1), on ^limine A, B, G, on aura liquation du plan osculateur
dx dy dz
OU
(X — x)(dy d*z — d*y dz)-h(Y —y)(dz d*x — d*z dx)
(Z — z){ dx d*y — d*x dy) = o.
Le plan osculateur d\une courbe, au point M de cette
QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 3^9
courbe, est un plan passant en M et situe a une distance du point M' injiniment voisin de M pris sur la courbe, qui est injiniment petite du troisiime ordre.
En effet, la distance du point x -f- A#, y -f- Ay, z -+- Az au plan repr6sent6 parl'equation (i) est
A Aa* -+- B by -h C \z /A" -+- B* -h C*
Si Ton veut exprimer que cette quantity est du troisiime ordre, il faut la d^velopper par la formule de Taylor, en observant que kx = dx -f- ~ d 2 x -f- . . . , et egaler alors a zero les termes contenant les infiniment petits du premier et du second ordre. On a pre'cise'ment ainsi les formules (2) et (3). Nous generaliserons plus tard cette proposition.
Le plan osculateur est aussi la limite d'un plan passant par une tangente parallHement a la tangente injiniment voisine.
En effet, liquation d'un plan passant par le point x,y, z est
s'il passe par la tangente au point x, y, z, on a
A dx -\- B dy -r- G dz = o;
s'il est parallele a la tangente voisine, dont les coefficients direcleurs sont dx -f- d 2 x, dy + d 2 y y dz -+- d 2 z 9 on a
A(dx -+- d*x) -h B(dy -t- d*y) -T- G(dz -±-d*z) =0;
ces Equations reviennent a (1), (2) et (3) : done, etc.
Disons en fin que le plan osculateur en x, y, z est la limite d'un plan passant par trois points variables de la courbe venant se confondre to us trois en x, y, z.
En effet, exprimant que le plan .
AX ■+■ BY -h CZ -h D = o
passe par le point
x «+■ Aa?, y ■+• Ay, z ■+- A*,
puis par les points
a? -4- a Aa?-+- A 8 j?, ...
et
on a
ar-H 3 Aa?-4- 3 A 1 a? -4- A 8 a?, ...,
A(X — x — Aa?) -4- B( Y — 7 — Ay) -4- C(Z — * — A*)-t- D = o,
A(X — a? — a Aa? — A 1 a?) -+- = o,
A(X — a? — 3 Aa? — 3 A 4 a: — A s ar)-t- =0.
En combinant ces Equations et en nlgligeant des termes d'ordre sup£rieur, on a
A (X — x) -4- B(Y -y) -f- C(Z — z) = o, A Aa? -4- B Ay -4- C A;i = o, A A* a? -4- B A*.y -+- C A»* = o,
ce qui, en passant aux limites, fournit les Equations
A(X — x) -4- B( Y — y) -+- C(Z — z) = o, Ada?-hBrfy-4-Cdte = o, A rf*a? -4- B d*y -+- G </*£ = o.
L'elimination de A, B, G entre ces Equations donne liquation du plan osculateur : done, etc. c. q. f. d.
Theoreme. — L' intersection de deux plans osculateur s infiniment voisins est uhe tangente d, la courbe.
En effet, soit
liquation du plan osculateur au point (# ?% y, *); liquation du plan osculateur au point infiniment voisin,
x -+- dx,
dy f
dz,
