QUESTIONS DEPENDANT D* INFINIMENT PETITS

s'obtiendra en changeant dans l'equation pr£c6dente x en x -+- dx,yeny -f- dy, et z en z -f- dz ; cette Equation sera done

(5) P-+-rfP = o.

Cette Equation et (4) repr£sentent l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins.

On peut reniplacer d'ailleurs l'equation (5) par dV = o, en sorte que Intersection cherch£e peut fitre representee par les deux Equations

dA(X — x) -+- dB(Y —y) -h dC(Z — z) — (A dx -{- B dy -i- C dz)= o;

en vertu de (2), cette derniere formule se r£duit a dA{X — x) -+- rfB(Y — y) -+- dC(Z — z) = o; combined avec (6), elle donne

BdC — GdB CdA—AdC AdB — BdA

Ce sont encore les equations de l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins; mais, en posant

A = (dy d*z — d*y dz)d*x

-h (dz d x x — d*zdx)<Py -+- (dx d*y — d*x dy)d*z*

on a

BrfC — CdB = dx.±, CdA — ArfC = af/.A,

ArfB — BdA^dz.y Ces formules (7)peuvent done s'£crire, en multipliant par A,

dx ~~ dy ~~ dz '

ce sont les Equations de la tangente : done, etc. c. q. f. n.

II requite de la que Uenveloppe des plans osculateurs d'une courbe gauche est le lieu de ses tangentes.

Par suite :

Le lieu des tangentes a une courbe gauche est une

surface developpable, dont le plan tangent est osculate ur a Var&te de rebroussement.

III. — Projections cylindriqnes et coniques des courbes gauches.

Rapportons une courbe gauche a son plan osculateur pris pour plan des xy ; nous prendrons pour axe des x la tangente, pour axe des y la normale trace"e dans le plan osculateur qu'on appelle la normale principals; Faxe des z sera alors la normale perpendiculaire au plan osculateur ou la binormale.

Liquation du plan osculateur devra se reduire a

Z = o; on devra done avoir, pour x = o, y = o, z = o, (i) dlzdy — d*y dz — o,

(a) d x xdz — d*zdx = o;

en £galant a ze\ro les coefficients de X et Y, dans liquation g6n£rale du plan osculateur, on devra avoir en outre

/ON dx dy dz

(3 > *='' ds=°< s=°«

puisque l'axe des x est la tangente, et que les trois quantity pr6ce"dentes sont les cosinus directeurs de cette tangente. Les Equations (1) et (2) se r^duisent alors a o = o et d 2 z = o,

Supposons que Ton prenne pour variable Tare s compte* a partir de Porigine des coordonn^es. En appelant x\ y \ z'y d \y \ z " 1 • • • l es de>ivees successives de x,y 9 z pour s = o, on a, par la formule de Taylor, et en tenant compte des rela-

dx dy dz d*z

lions ^ = i,^ = o >a j =o f3? = o f

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 353

On conclut de ces formules que les rapports =^> — > ^ sont finis pour 5 = 0; done on peut ecrire

^ = aa? J -f-a>, z = bx*-\- w', z % = c^ 3 •+■ to*,

a, 6, c d£signant des constantes et a>, o>', a/ 7 des quantit^s infiniment petites d'ordre supe>ieur.

II en resulte que, si x est assez petit, ces Equations, qui sont celles de la projection de la courbe sur les plans coordonn£s, sont sensiblement celles des courbes

y — a# J , z = bx*, z* = cy z .

Ainsi, projete'e : i° sur son plan osculateur, la courbe ne prisente aucune particular tie* ; 2 sur le plan normal, elle presente un point de rebroussement ordinaire et 3° sur le plan tangent passant par la binormale, une inflexion.

Ces resultats peuvent £tre generalises :

Supposons que Ton regarde une courbe gauche en plagant l'ccil sur la binormale, cette courbe nepresentera aucune particularity ; si Toeil est place" sur la tangente, la courbe presente au point que Ton considere un rebroussement de premiere espece; enfin, en plagant l'ceil sur la normale principale, la courbe presente un point d'inflexion; en effet, dans le voisinage du point considere, la perspective de la courbe se confond sensiblement avec une projection orthogonale.