IV. — Da contact des courbes gauches

Deux courbes gauches passant au point M ont en ce point un contact d'ordre n si, consideVant une s£cante PP' commune a ces deux courbes, men£e dans le voisinage du point M, la portion PP'de se*cante comprise entre les deux courbes est d'ordre n + 1 par rapport aux distances MP ou MP\

Supposer MP et MP' de m£me ordre, e'est supposer que PP' n'est pas parallele a la tangente en M a l'une des deux courbes. D'ailleurs, en repe*tant les raisohnements fails en Geom^trie L. — Traite d' Analyse, II. 2 3

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plane, on d£montrerait que l'ordre de PP ne depend pas de son orientation.

Pour trouver les conditions du contact d'ordre n de deux courbes passant au point M, d^signons par x, y, z ou par x i9 y {y z t les coordonne'es du point M suivant qu'on le considlrera com me appartenant a la premiere ou a la seconde courbe. Les coordonne'es du point P voisin de M sur la premiere courbe seront x -4- A#, y 4- Ay, z -f- As, et les coordonnees du point P' voisin de M sur la seconde courbe seront x t -\-kx tJ y i -\-\y iy z t -f-A3 4 . Pour qu'il y ait contact d'ordre M, il faudra que PP', ou ses projections \x — Aa^, Aj- — \y h , As — As 4 , soient d'ordre /i+i au moins. (L'une d'elles devra dtre de l'ordre n -f- i si Ton vcut que le contact soit pr^cisement d'ordre n.)

Mais, pour que ces conclusions soient exactes, il faut que la variable ind£pendaute dont depend la position des points P et P' soit telle que PP' ne soit pas parallele a la tangente a Tune des deux courbes. On pourra, par exemple, prendre x = x t pour variable independante; les points P et P 7 s'obtiendront alors en coupant les deux courbes par un plan parallele au plan des yz.

Ces restrictions une fois'pose'es, si Ton observe que, en vertu de la formule de Taylor,

Aa? — tkXx — dx — dx\ h- \ ( d*x — d % Xi ) -+- . . . , by — A^t = dy — dy ir i- \(d*y — d*yi) -+-. . . , \z — &lz x = dz — dz x -+- \(d*z — d*Zi)-k-. . .,

on voit que les conditions de contact d'ordre n sont

dx — dxi = o, d % x — d*x t = o, . . . , d n x — d n x x = o,

dy — tyi = Of d *y — d *yi = °> • • • > d *y — dn y* = °>

dz — dz\?=Oj d*z— rf f ^i=o, ..., d n z — d n z % =o.

Quand on prend x = x % pour variable independante, on a dx = o, dxi = o, . . . , d n x = o, d n x K = o et les conditions £crites sur la premiere ligne sont satisfaites d'elles-m£mes : done il faut 2/1 conditions pour assurer le contact d'ordre n.

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 355

Dans la pratique, pour exprimer que deux courbes ont un contact d'ordre n, on differentie les Equations de Tune des courbes et Ton y remplace les diflferentielles de x,y, z par les diflferentielles deduites des Equations de Tautre courbe. II conviendra, en general, de prendre pour variable inde'pendante Tune des coordonn^es x, y, z, ou Tare s que Ton prendra le raeme dans les deux courbes. ( Voir les remarques faites en G^om^trie plane.)

Theoreme I. — Deux courbes ont un contact d'ordre n quand leurs projections sur un plan quelconque ont un contact d'ordre n, et vice versa.

En effet, la distance PP' consid£r£e tout k Theure est du meme ordre que sa projection, pourvu que la projection ne s'effectue pas sur un plan normal commun aux deux courbes.

Theoreme II. — Deux courbes ont un contact d'ordre /i, quand elles sont la limite de deux courbes variables se coupant en n-+-i points confondus.

En effet, leurs projections ont un contact d'ordre n. II va sans dire que deux courbes qui ont un contact du premier ordre sont tangentes ; car, Tangle PMF ayant un c6l6 PF du second ordre, Tangle M sera nul k la limite; puisque

sinM __ sinP IF ~~ MP 7 '

P £tant fini par hypothese, MF etant du premier ordre, M doil 6tre nul & la limite, si PP' est du second ordre. Ainsi MP et MP' ont m£me position limite; or ces positions limites sont celles des tangentes aux courbes en M.