V. — Contact des courbes et des surfaces

Une courbe a avec une surface un contact d'ordre n au point commun M, quand une droite PP'voisine deM rencontre

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la courbe et la surface en des points P et P*, tels que PP' soit cTordre n ■+- 1 par rapport a MP. En supposant que PP 7 ne soit a la limite ni tangent a la courbe ni tangent a la surface, on prouve que cette definition est ind^pendante de Torientation de PP.

Pour trouver les conditions du contact d'ordre n d'une courbe et d'une surface, nous supposerons que l'axe des z ne soit parallMe ni a la tangente en M a la courbe, ni au plan tangent en M a la surface. Le cylindre projetant la courbe sur le plan des xy coupe la surface suivant une courbe qui doit avoir avec la propos^e un contact d'ordre n f car la distance de deux points de ces courbes comptee parallel ement a l'axe des z est d'ordre n -f- i , et r£ciproquement.

Soient done

(2) y = ty(z),

(3) f{*,y) = o les equations de la courbe,

celle de la surface ; il suffira, pour assurer le contact d'ordre in, d'exprimer que la courbe representee par

F = o, / = o a un contact d'ordre n avec celle qui est representee par

Pour cela, on exprimera que les valeurs de dx, dy, dz, . . . , deduites des Equations de la courbe proposde, sont les m£mes que celles que Ton deduirait de F = o et de/=o; pour exprimer ces conditions, on peut diflerentier n fois

et remplacer x, y, z, dx, dy, dz, d 2 x, . . . par leurs valeurs tiroes de x = <f (*), y = ^(<z) ; mais alors/ = o, df= o, . . .

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PBTITS. 357

donnent des identit6s, et les conditions du contact d'ordre n sont que les Equations

F=o, <*F=o, . .., rf»F = o

aient lieu quand on y remplace #, y, z par leurs valeurs d^duites de x = <p (z), y = ty(z)-

Theoreme. — Si une courbe variable de forme rencontre une surface en n -f- 1 points, et que, eu igard a la variability de certains parametres, les points en question viennent se confondre en un seul, la courbe et la surface auront an contact d'ordre n.

En effet, si Ton projette la courbe sur la surface a l'aide de projetantes paralleles a une direction fixe, on obtiendra une courbe qui, a la limite, aura avec la proposee un contact d'ordre /i, puisqu'elle a 6videmment avec celle-ci n -f- 1 points communs qui, a la limite, viennent se confondre en un seul situe* sur la surface.

La definition que nous avons donn£e plus haut du plan osculateur nous montre que ce plan a avec la courbe un contact du second ordre; car, pour obtenir son Equation, nous avons exprim£ que les diff<6rentielles premiere et seconde du premier membre de son Equation £taient nulles, en supposant x y y, z tir£s des equations de la courbe.

Deux courbes sont osculatrices, une courbe est osculatrice d'une surface, quand l'ordre de leur contact est aussi 6lev6 que possible, eu £gard au nombre des parametres arbitraires que leurs Equations renferment.

Ainsi, un plan renfermant trois parametres, on pourra le faire passer par trois points donnas seulement; il ne pourra done avoir avec une courbe un contact d'ordre supe*rieur au second, et, quand il aura un contact de cet ordre, il sera osculateur.

Accidentellement, deux courbes ou une surface et une courbe peuvent avoir un conctact d'ordre plus ilc\6 qu'on ne pourrait le supposer, eu £gard au nombre des parametres

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que renferment leurs Equations; on dit alors qu'il y a surosculation. Nous avons donn£ des exemples de surosculation en Geom£trie plane; nous en donnerons bientdtdenouveaux.