VI. — Droite osculatrice et plan osculateur d'une courbe

Les Equations d'une droite sont de la forme

(i) x = az -4- a, y = bz-h$.

Pour qu'elle ait un contact d'ordre n avec une courbe, il faut que les dx, dy, d 2 x, d 2 y, ... de la courbe soient £gaux a ceux de la droite; on doit done avoir

(2) dx = adz, dy = bdz,

(3) d*x=zo, d*y=o,

les Equations (1) et (2) d£terminent a, b, a, (3, quand on s'est donne x, y, z. La droite osculatrice d'une courbe en un point donn£ a done en general un contact du premier ordre avec cette courbe, et les Equations (2) montrent que e'est la tangente au point donn£.

Les points ou.l'on a d 2 x =0, d 2 y = o sont ce qu'on peut appeler des points <T inflexion; le plan osculateur y est indite rmini.

Liquation du plan est de la forme

AX-fBY + CZ+D=o

et contienttrois param&tres; on peut done le faire passer par trois points confondus en un seul, et alors il sera osculateur; on d^terminera ses coefficients par les formules

Ax + B7 + G-? + D=o,

A dx -+- B dy -+- G dz — o,

En certains points, il pourra se faire qu'on ait en outre

A d*x ■+- B d*y -t- G dtz = o,

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 35g

et alors rumination de A, B, C donnera

dx dy dz d t x d*y d*z d?x d 3 y d*z

= o ou A = o ;

le plan osculateur est alors surosculateur ou stationnaire, et la courbe se confond sensiblement avec une courbe plane dans le voisinage du point (x,y, z).

Supposons une courbe donn£e par ses Equations; on pourra poser A = o. Cette Equation, jointe a celles de la courbe, determinera un certain nombre de points ou le plan osculateur sera stationnaire. Ainsi, sur toutes les courbes, en g£n£ral, il existe de tels points.

Enfin il pourrait arriver que, en certains points, le plan osculateur eut un contact d'ordre encore sup^rieur; mais il faudrait une Equation de plus pour exprimer cette circonrstance. II en resulte que les courbes ne poss&dent pas, en g£n£ral, de tels points.