H(£HI
et si Ton appelle <p Tangle que la normale fait avec l'axe des x, on a
^7 -£~ — cos cd ou ~ = Ncoscp; N dx • da; T
la formule (2) donne alors
hi d f d f . d f -,
Ncos© = -7-cosa-i- -^-cosa -h -f-cossr -f-
1 <?/> dq dr
done la ligne N port^e sur la normale a la courbe /= o a pour projection sur l'axe des x, et aussi sur l'axe desy, une
ligne Igale a la somme des projections de -p> -p> •• • por-
tees sur les droites p, q, r, . . . ; il faut en conclure que la
normale a la courbe /= o en M est dirig£e suivant la r£sul-
tante de ces droites ; si ~ 6tait n£gatif, il faudrait le remplacer
par sa valeur absolue comptle dans la direction it -f- a, .... Le th^oreme en question se trouve done demontre\
Nous allons en faire quelques applications, mais observons pourcela queleth£oremesubsistequandauxcourbesP,Q, ... on substitue des points fixes. La demonstration dans ce cas est d'ailleurs plus simple, en ce sens que a, ft, a', ft', . . . sont constants.
XV. — Tangentes a quelques courses en coordonnees multipolaires.
L'ellipse peut £tre definie par une Equation de la forme
p-r- q = la,
p et q d&ignant les distance's d'un point de la courbe aux foyers; la normale en un point quelconque s'obtiendra en composant des droites egales a i , pontes sur les rayons vec-
teurs, car ici — = i , -— = i , mais on obtient alors la bissec- 7 Op ' aq '
trice de Tangle des rayons vecteurs. Liquation de T hyperbole dans ce systeme de coordonnees serait
p — q = ia,
et la normale s'obtiendrait en composant des droites £gales a l'unit£, port^es sur un rayon vecteur et le prolongement de Tautre, ce qui fournit une construction connue.
La lemniscate est une courbe telle que le produit de ses rayons vecteurs p, q, issus de deux points fixes P, Q, est constant; on a done, en appelant C une cons tan te, pour tout point de la lemniscate,
pq = C.
Ici, ~ = q, -—- = p ; on obtiendra done la normale en composant deux droites dgales chacune a un rayon vecteur, mais porte"e sur la direction de l'autre rayon.
GfiOMfiTRIB PLANE. 29
Le lieu des points, tels que Ton ait/? 2 + q 1 = const., est un cercle ; on peut verifier que la construction de Poinsot fournit
un rayon. Le lieu des points, tels que Ton ait — = const., est
un cercle; en mettant cette Equation sous la forme
ap — bq = o,
on obtient une construction de la normale, qui consiste a chercher la resultante de deux droites proportionnelles a a et — b 7 ou a q et — p, portees sur les rayons vecteurs, construction analogue a celle de la normale a la lemniscate. Si />, q y r, . . . d^signent les distances d'un point M a des points fixes,
ap x -+- bq* -+- cr* -+-...= const.
repr^sentera un cercle; la normale en un point M de ce cercle sera dirig^e suivant la resultante de droites de longueur ap, by, cr, . . . portees sur les rayons vecteurs /?, q y r, . . • , et Ton pourrait multiplier les exemples a l'infini.
Mais revenons au cas general et supposons une courbe dlfinie par des coordonndes bipolaires, c'est-a-dire par les distances /?, q de chacun de ses points M a deux points fixes P, Q.
Si
est liquation de la courbe, la resultante des droites -J- > ~ portees sur les rayons vecteurs MP, MQ donne la direction de la normale en M. Mais le rapport J- : --> identiquement
e"gal a — -~j fait connaitre le rapport des sinus des angles
que la normale fait avec les rayons vecteurs. Car ~ et j- sont
proportionnels aux c6t£s du parallelogramme dont la diagonale est normale a la courbe, et les sinus de a et (J sont aussi proportionnels a ces c6t£s. En appelant a Tangle que le
3o CHAPITRB I.
rayon p fait avec la nor male, (3 Tangle que le rayon q fait avec la normale, on a done
*f V ■ o • -T- : -y- = sinp : sina,
op oq r
et, par suite,
dp sin a
ou, si Ton veut,
sin $ dp -+- sin a dq = o,
relation importante dont on peut tirer une foule de consequences. En voici quelques-unes :
Quelles sont les courbes dans lesquelles la normale partage en deux parties 6gales V angle des rayons vecteurs issus de deux points fixes?
On doit avoir
done
done
sin a
dq dp ~~
ou
dp -+- dq = o ;
on en conclut p -+- q = const., et l'ellipse, comme Ton voit, est la seule courbe jouissant de cette propria.
Quelle courbe faudrait-il prendre pour miridien d'une lentille pour que les rayons lumineux issus d'un foyer P allassent tous converger en un m^me point Q?
Dans la courbe en question n = -r— ~ (ou l'indice de refraction) est constant; on a done
— -j- = n ou dq •+■ n dp = o.
On en conclut, pour liquation des courbes cherch£es,
q -h np = const. ;
ces courbes portent le nom tfovales de Descartes; elles
GfiOMtiTRIE PLANE. 3l
jouissent de propri£t£s curieuses et nous les retrouverons plus loin.
Passons maintenanl a d'autres applications du theoreme de Poinsot.
