VII. — Gercle osculateur

Le cercle est determine par trois points : le cercle osculateur d'une courbe sera celui qui passera par trois points infiniment voisins de cette courbe. On peut prevoir que le plan de ce cercle sera le plan osculateur, puisqu'il passe par trois points infiniment voisins de la courbe. Verifions cela par le calcul.

Les equations d'un cercle sont

(i) \x-\-T*y-¥- Cz-+- D = o,

(2) ( a . a )i- f .( J ,p)i + (*. T )i = Ri.

Pour exprimer que ce cercle est osculateur, il faut 6crire qu'il passe par le point (x 9 y, z) de la courbe et que ses dx, dy 9 dz, d 2 x, ... sont les m£mes que ceux de la courbe. Pour cela, nous £crirons que les Equations (i) et (2) ont lieu pour un

36o GHAPITRE V.

point de la courbe; cette condition est toute 6crite si a? e\.y sont supposes calcules en fonction de z a l'aide des Equations de la courbe. DifT£rentiant alors les formules (i) et (2), nous exprimerons qu'elles ont encore lieu quand on y remplace x, y, z, dx y dy, dz par leurs valeurs tiroes des Equations de la courbe, et nous diff*£rentierons ainsi jusqu'a ce que nous ayons juste assez d'£quations pour determiner les coefficients A, B, C, D, a, (3, y? R« Nous trouvons ainsi, outre les Equations (1), (2) entendues comme il a £t£ dit,

(3) A dx ■+- B dy -4- C dz = o,

(4) (a? — a.)dx-*r(y— $)dy-*-(z — f)dz = 0.

On peut encore £crire deux Equations pour determiner les sept coefficients auxquels se r£duisent A, B, . . . , R. Diff£rentions encore et nous aurons

(6) (a? — <t)d*x+(y — $)d*y-+-(z — *t)d*z = ds*.

II semble qu'il reste un coefficient ind£termine dans le r£sultat; mais les Equations (1) et (2) repr6sentent d'une infinite' de manieres le m£me cercle, et Ton peut supposer

Aon- B p h- C y h- D = o ;

a, [3, y seront alors les coordonnees du centre du cercle osculateur. Cette formule permet d'^crire liquation (1) ainsi

et d'eliminer D.

Pour calculer a, (3, y et R, ce qu'il nous importe surtout de connaitre, nous observerons que, si pour un moment a, (3, y sont considers comme coordonnees courantes, liquation (4) repr£sente un plan normal, et liquation (6), obtenue en difT6rentiant (4), est liquation d'un plan passant par l'intersection du plan normal avec le plan normal infiniment voisin; les formules (4) et (6) repr^sentent l'axe du cercle osculateur. Ainsi, Vaxe du cercle osculateur est

QUESTIONS DEPENDANT D'iNFINIMENT PETITS. 36 1

V intersection de deux plans normaux, infiniment voisins. Les Equations (3), (5), (7) sont celles du plan osculateur. Ainsi :

Theoreme. — Le plan du cercle osculateur est le plan osculateur.

En r£solvant les formules (4), (6), (7) et en observant que A = dyd 2 z — d 2 ydz, . . . ,puisenposantD 2 = A 2 -j-B*-|-C 2 , on trouve

ds* (8) a? — a = j- [dz(d*xdz — d t zdx) — dy( < d*ydx — d*xdy)].

Cette formule se simplifie et donne successivement

x — a = -=— [d*x(dy*-±-dz*) — dx(d*zdz -hd*ydy)],

ds* x — ol= — [d*x(ds* — dx*) — dx(dsd*s — dxd*x)],

ds % (9) x — a = -^" (d*xds — d*sdx).

Pour calculer R, nous observerons que la formule (8) peut

s'ecrire

(x-a)=*£(Kdz-Cdy);

en ajoutant cette Equation avec celles qui donnent y — (3, z — y> &P r ^s les avoir £lev£es au carr6, on a

ou, en vertu d'une identity bien connue,

ds*

R« = ^[(A* + B*H-C«)(<*r*-H<fy* -*-<£*»)-- (Adx + Bdy-hCdz)*], c'est-a-dire, en observant que le second terme est nul,

ou, reductions faites,

do) R = ^

ou enfin

(10 bis) R = ** —

[(dyd*z — dzd*y)*-+-(dzd*x — dxd*z)*-+-(dxd*y — <fyd 1 x)*] t

Le cercle osculateur £tant tangent a la courbe, le rayon de courbure du point de contact est dirig^ suivant une normale a la courbe; cettenormale, situ^e dans le plan osculateur, porte le nom de normale principale. Nous la supposerons dirig£e de la courbe vers le centre du cercle osculateur; ses cosinus

directeurs sont alors x p * > * p > — 5-^* c'est-a-dire

ds % Y^(d*xds — d*sdx),

c'est-a-dire, en vertu de (10),

dtxds — dtsdx d*yds — d*sdy D d*zds — cPsdz (II) R di> ' R *i "' R £i

Avantd'aller plus loin, nous ferons observer que, quand l'arc est variable ind£pendante, les cosinus directeurs de la normale principale se r£duisent a

ds* ds % ds*

En dcrivant que la somme de leurs carr£s est l'unit£, on trouve

R» \ds*J \ds*J \ds*J