VIII. — Des deux courbures des courbes gaucbes
Dans la G6om6trie a trois dimensions, comme dans la G6om£trie a deux dimensions, il est naturel de mesurer la courbure d'une courbe par l'inverse du rayon du cercle oscu-
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lateur. On arrive aussi d'une autre maniere a la mesure de la courbure.
Si, com me en Geom£trie plane, nous appelons angle de contingence Tangle de deux tangentes voisines; si nous appelons de cet angle; si nous designonsen outre par ds l'arc
correspondant, -y- sera ce que nous appellerons la courbure.
Mais, ind£pendamment de cette courbure, les courbes gauches en possedent une autre (qui fait, par exemple, que l'he'lice a un pas) ; cette courbure ou torsion est produite par le de'placement du plan osculateur. Nous la mesurerons k l'aide des considerations suivantes.
L'angle que deux plans osculateurs infiniment voisins font entre eux au point M d'une courbe est appele* angle de torsion.
En d&ignant par dto Tangle de torsion, ds Tare correspon-
dant, -j- est ce que Ton appelle la torsion en M .
Pour calculer la courbure et la torsion, nous ferons usage d'un lemme que nous allons d£montrer.
Lemme. — Soient a, (3, y et a h p n y« les coefficients directeurs de deux droites, leur angle; on a
V ' (**+P + l*K*l + n + rt)
Supposons maintenant que a 4 , (3 t , y« soient ce que deviennent a, (3, y quand on passe de la droite a, (3, y suppos£e mobile k sa position infiniment voisine ; on aura
ot,= a-t-c?a, p t = p -h- c?p, Yi=Y" } "' c fy> sin 1 8 = 8*, et la formule (i) donnera
Telle est Texpression que nous voulions obtenir de Tangle de deux droites infiniment voisines.
364 GHAPITRB Y.
Applications. — Supposons d'abord que a, (3, y repr6sentent les coefficients directeurs de la tan gen te a une courbe au point (x, y, z), et soit ds l'6l£ment d'arc de cette courbe ; on aura a = dx, [3 = dy, y = ^ z i et 8 = rfe sera Tangle de contingence ; il viendra alors
, (dyd l z — dzd l y)*^(dzd?x — dxd?z)* + (dyd*x--dxd i y) 2 az : ;
en divisant par ds 2 et en appelant -^ la courbure, on aura
( \ x ^(dydtz — dzdtyp + idzdix — dxd* z)* -h(dyd *x — dxd*y}* W R* Si
Nous appellerons R le rayon de courbure; nous pouvons observer qu'en d£signant par A, B, C les coefficients du plan osculateur, on a
(a6w) Ri = dS ;
la formule ( 2 ) peut encore s'^crire
, . . 1 (dx 3 + dy t -hdz*)(d*x 1 -+-d t y* + d*z*) — i(dxd'x-hdyd*y-hdzd*z*) {2t er) w% = gj;
En observant que dx 2 -+- dy 2 -t- dz 2 = ds 2 et qu'en diflferentiant on a dxd 2 x -\-dyd 2 y -\-dzd 2 z = dsd 2 s, la formule (2 ter) devient
1 __ ds*(d*x*-+- d*y*-i-d*z*) — t xdsd*$ a R* ~" ~~ds* '
si done on prend s pour variable ind£pendante, on a d 2 s = o, et
Hi " (£)'+ (&)'+ &)'■
formule souvent utile, ct qui montre, ainsi que (2), que le rayon de courbure est £gal au rayon du cercle osculateur (voir p. 359).
QUESTIONS DEPENDANT D'iNFINIMENT PETITS. 365
Supposons en second lieu que Ton prenne
a = A = d % y dz — d*z dy, £ = B = d*zdx — d*x dz, Y = C = dtx dy — d*y dx,
A, B, G d£signant, comme plus haut, les coefficients directeurs du plan osculateur; dans la formule (i), 8 d£signera Tangle dto de deux plans osculateurs voisins ou, si Ton veut, Tangle de torsion, et Ton aura
(5) rftl>* =
Posons
(BdC — CdB)*->r(CdA — XdC)*-h(AdB — BdX)*
dx dy dz d>x d*y d*z <Px d?y d*z
A est ce que Ton appelle le determinant de la courbe. Si Ton effectue le developpement de BdC — GrfB, on trouve, en faisant usage des formules (4).
BdC — CdB = bdx, CdA — AdC = ±dy, AdB — BdA = \dz.
Liquation (5) donne alors
dt»* =
A»<ft«
et, en appelant „ la torsion -,- ,
(A»-rB*-t- C*;»
du>
T* (A^B^-hC*) 2
puis, k 1'aide de (2 bis), on a
T* ~ ds"
et
CHAPITRB Y.
T s'appelle le rayon de torsion.
L'expression de A et par suite celle de T prennent des
formes remarquables quand on choisit Fare s pour variable
ind£pendante. On a
of y z'
A ds*
en d£signant par x\ y, z\ ... les ddrivies de x+ y, z relatives h; on en conclut, en ^levant au carre,
\ds*J
y^ 2*'^ 2* vw
Sx'af ^V s 2^^ ^x'x" ^x'aT J^x"*
or, si Ton differentie les formules z^ 2 == l et zl^ a dont la seconde est identique a (3), on a
on a aussi
La formule ( 7 ) devient alors
R \ ck
QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 367
OU
\dsy
(6) devient par suite
) ~ R*2d xm% R« R»V ds J ;
ds
Till. — Discussion des formulas relatives a la courbure.
Le rayon de courbure estune fonction de x,y, z, ouplut6t de l'une quelconque de ces variables; il ne peut £tre qu'accidentellement nul ou infini. En effet, si Ton suppose R toujours
infini ou ^ toujours nul, les coefficients A, fi, C du plan oscu-
lateur seront toujours nuls, et, dans ce cas, nous avons vu (p. 358) que la courbe se r£duit a une droite. R ne saurait
£tre toujours nul, sans quoi ^ serait toujours infini et
\ds* J \ds*J \ ds* )
aussi, ce qui ne peut avoir lieu. La torsion £tant exprim£e par la formule R 2 -r^ ne peut 6tre constamment nulle que si A = o ; or on a, en prenant z pour variable ind^pendante,
dx dy dz d*x d*y o d?x d*y o
c'est-a-dire
A = (d*x d*y — d*x d*y) dz.
Si Ton pose A = o, dz dtant different de ze'ro, on a
dtxdty — d*xd*y =
368 GHAPITRB V.
ou, en designant par cune constante,
logd*y — \ogd*x = logc,
ce que Ton v^rifie en remarquant que la dittfirentielle du premier membre de cette formule reproduit le premier membre de la formule pr£c£dente. On peut £crire cette formule ainsi
d*x~° ou
d*y — cd*x = o;
en appelant d une nouvelle constante, on trouve
dy — cdx = c'dz, et, en appelant c" une troisi&me constante,
y — ex — c'z = c";
e'est liquation d'un plan : done les courbes planes ont seules une torsion nulle.
Remarque. — Ainsi, pour exprimer qu'une courbe est plane, on pourra ecrire que son determinant est nul.
