IX. — Evaluation de quelques infiniment petite a l'aide

des quantites R, T, A.

Distance d'un point d'une courbe a la tangente menee par le point voisin. — Liquation de la tangente £tant

X — x Y — y __ Z — z dx dy dz

la distance h du point x -\- kx, y -f- Ajp, z -f- As a cette droite est donn£e par la formule

, __ ^(&z dy — \y dz)* -+- ( \x dz — bz dx)* -+- ( \y dx — \x dy) 1

\Jdx* -+- dy 1 -h dz*

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFlNIMENT PETITS. 369

RemplaQons A.r, Aj% As par

dx h \ — £ — !-..., dy-r%d*y -*-..., dz -\- \ d* z ->r . ..;

en negligeant les termes d'ordre superieur, nous aurons

(d*zdv — d*vdz)*

ds* c'est-a-dire (p. 362)

Cette formule est exacte aux termes du troisieme ordre pres, et Ton v^rifie une fois de plus que la quantity h est du second ordre.

Distance d'un point d'une courbe au plan osculateur mene par le point infiniment voisin. — L'equation du plan osculateur en x } y, z est

(X — x){d*y dz — d 1 zdy)-\-. . .='0

La distance du point x -+- A.r, y -f- A;-, 5 + Asa ce plan est donn£e par la formule

. __ A Aa? -+- B ly -+- C A*

Or on a vu que (p. 348)

A dx -*- B dy -4- C dz = o, A d*x -+- B ^7 -+- G d*z = o.

Si done on remplace bx par dx -+- £ rf 2 # -f- -J r rf'x -+- . . . , on aura, en vertu des formules pr£c6dentes,

6 /A» ■+■ B* h- C* I.. — Traited' Analyse, II. 24

si Pon rem place alors A, B, C par leurs valeurs

d*y dz — d*z dy, d*zdx — d*x dz, d*x dy — d*y dx,

on trouve, en se rappelant les expressions de A, -^ el ~ donnees au paragraphe precedent,

A R __ ds* m 6 ds< ~ 6TR ;

A" est done bien du troisieme ordre, comme nous 1'avons d^ja observe, et nous avons une double expression de cette quantity, exacte aux termes du quatrieme ordre pres.

Difference entre un arc et sa corde. — Prenons to uj ours les m£mes notations. Les coordonn£es d'un point voisin du point (#, y } z) pourront 6tre representees par

Aa? = dx -+- \ d t x -+- \ d*x -+- . . . , AT - dy -*- \ d*y — { d*y ■+- . . . , Az = dz -h -J d* z -T- i d* z ■+- . . . ,

et, si Ton prend Pare pour variable ind^pendante, ds repr£sentera exactement la longueur de Pare qui va du point (x,j', z) au point x + A#, y -h A/, z -+- As. Soit c la longueur de la corde correspondante ; en ^levant les Equations pr£c6dentes au carr£ et en les ajoutant, il vient

c* = ds 1 -\-(dx d*x ■+- dy d*y -r- dz d t z )

-+- \ {dx dtx ■+■ dydty -+- ck cP*) -t- {(d*x* -h rf*j* 4- d*z*) -k..,

en nous arr£tant aux termes du cinqui&me ordre. Or on a

dx* -+- dy 1 -t- dz* = ds* et, en diflferentiant deux fois,

dx d*x -f- dy d*y -+- dz d*z = o,

/is*

dx d*x -+- c?^ dPj' -T- dz d* z — — ( d*x* -4- rf s / l -+- c? 2 * 1 ) = — — - ;

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PBTITS. 3 J I

portant ces valeurs dans Fexpression de c 2 , on trouve

c s — rf« 1 = — A -Rj-

On voit que c — ds est du troisieme ordre; done, aux termes du cinquieme ordre pres, on aura, en remplagant c-\-ds par ids.

a ds(ds — c) = -f, —

ou bien en fin, aux termes du quatrieme ordre pres,

On voit done que la difference entre un arc de courbe et sa corde est, non pas du second, mais du troisieme ordre. Cette

difference est Igale &2T-iT7> aux termes du quatrieme ordre

pres.

Gavarni, si connu par ses illustrations, s'occupait aussi de Math£matiques, et il a calculi le d£veloppement de la difference ds — c suivant les puissances de ds.