X. — Formules de Serret et Frenet

A chaque point {x,y, z) d'une courbe correspondent trois directions dites principales qui sont rectangulaires. Ces directions sont : i° celle de la tangente dont nous dlsignerons les cosinus directeurs par a, 6, c; 2° celle de la normale principale, ou normale situ£e dans le plan osculateur. dont nous d£signerons les cosinus directeurs par d \ 6', c'; 3° enfin celle de la normale au plan osculateur, ou, d'apres

372 GHAPITRE Y.

de Saint-Venant, la binormale, quand on suppose qu'elle passe par le point {x, y, z). Nous designerons ses cosinus directeurs par a", b", (?.

Nous aurons d'abord entreles neuf cosinus a, 6, c, . . . , c" les relations qui existent entre les neuf cosinus que Ton considere dans les formules de la transformation des coordonnSes en G^ometrie analytique a trois dimensions ; nous ne les ecrirons que quand nous en aurons besoin.

Nousallons d'abord apprendre k calculer ccs neuf cosinus. On sait deja que

dx . dy dz

(I) a= ds' b= li* Cz= &'

CiO UrO C/t-O

s d^signant 1'arc de courbe. Ces formules definiront le sens de la tangente. Nous avons vu que la direction de la normale principale elait donn£e par les formules

Tare £tant pris pour variable. Enfin, en posant

A = dy d*z — dz d*y, B' —

nous avons trouve* que les coefficients directeurs de la binormale dtaient A, B, C. Pour bien determiner le sens de cetle binormale, nous ferons en sorte que

a"=->r(bc'—cb') (etnon a"= cb' — be').

Nous aurons alors, a Paide des formules (1) et (2),

/ tit ~ dz d*x — dxd*z B (3) (*'= R W* = D'

, dxd*y — dyd 1 x G c =R dT* = D'

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 373

des formules (i) et (2) on tire

da __ a 1 db __ b^ dc c'

<4) ds~ ""K' ds~~H' 3s ~ 5'

vl, en diflferentiant (3), on a

, „ D d\ — A dD D*d\ — AD rfD da = D* = D3

ou bien

, , (A*-+-B*-+-C*)rfA — A(\dk + BdB + CdC) da = : Bf

B (B dk — A dB) ■+■ C(C dk — A dC)

Or on a vu que B dC — C dB = A dx, . . . , ce que Ton peut d'ailleurs verifier iramediateraent; done

MCdy-Bdz)

A d£signant com me plus haut le determinant de la courbe

or ^ est pr£cisement £gal a =; on a, par suite,

da" a*

~ds = —T*

Si 1'on convient de donner un signe k T et de le prendre tel que 1'on ait T = — > il viendra

da" a'

db" b' ds ~ T'

d<f c\ ds ~ T ;

enfin on a

a'*-*- b'*-h c'» = 1, aa'-+- bb' -+- cc' = o, aa'-i-bb" + cc' = o.

En differentiant et en faisant usage des formules (4), (5), or*

trouve

. da! . . db' , dc'

as ds ds

ds ds ds ~~ R

, da! db 1 „ dc' i

ds ds ds ~~ T"

on en tire

/r . da! fa a"\ db' lb b'\ dc' (c <f\

(6) "3F = -U + TJ' ~di = -{*-*- T)' ■3F = -U" + 'tJ-

Les formules (4), (5), (6) sont les formules de Serret et Fre net.