XI. — Demonstration nouvelle des formules de Serret
et Frenet.
De la th£orie des tangentes et des formules de Serret on peut d^duire avec facility toute la th^orie des courbes gauches, pourvu que Ton admette encore ce th£oreme d^montre* plus haut (p. 35o) :
U intersection du plan osculateur en un point M d'une courbe gauche avec le plan osculateur infiniment voisin est la tangent e en ce point M de la courbe en question.
II importe d'^tablir directement ces formules, et l'on y parvient corarae il suit :
Par l'origine des coordonn6es menons deux droites de longueur e*gale a 1'unite* : l'une OA, parallele a la tangente en x, y, z a la courbe ; l'autre OB, parallele a la tangente au point voisin x -h dx, y -+- dy, z-\-dz. AB pourra rem placer Tare de cercle decrit de O comme centre avec OA pour rayon, et termini en A et B. AB aura alors pour mesure Tangle de contingence de la courbe en x,y, z\ ainsi
QUESTIONS DEPENDANT d'INFINIJTENT PETITS. 3j5
R design ant comme plus haut le rayon de courbure de la courbe. Quant a la direction de AB, elle sera, a la limite, perpendiculaire au rayon OA, comme tangente a Tare de cercle AB; elle sera d'ailleurs contenue dans le plan parallele a deux tangentes voisines, e'est-a-dire dans un plan parallele an plan osculateur; la direction limite de AB est done celle de la normale principale, dont nous avons dSsigne* les cosinus directeurs par a', b\ c f .
Si Ton applique alors le theoreme des projections au triangle OAB, en observant que les coordonn£es de A sont a, 6, c et que celles de B sont a + da, b -f- db, c -f- dc, on aura, en projetant successivement sur les trois axes de coordonn6es
( 7 ) da= a' -^y db — b' ^ , <ic = c' - - •
C'est la premiere des formules de Serret. Pour obtenir celles qui donnent dol\ db", d<?, menons encore par Torigine O deux droites 6gales a l'unit^ : OA parallele a la binormale, OB parallele a la binormale infiniment voisine ; AB sera, comme tout a Theure, perpendiculaire a OA. Or Tintersection des deux plans osculateurs normaux a OA et OB est a la limite la tangente a la courbe; cette tangente est normale a OA et OB, et par suite a leur plan et a Ferment AB situe* dans ce plan; AB est done a la limite perpendiculaire a la tangente et a la binormale, e'est-a-dire parallele a la normale principale. Or AB mesure Tangle de deux binormales voisines;
sa longueur est par suite egale a Tangle de torsion -=r, ses
projections sur les axes sont a' -rrr> V -™ et d ■«• En projetant alors le contour OAB sur les axes, on a
(8) da'=a'~ 9 db'=b'~, dc°=c'^.
En fin on tire, en difierentiant a 2 + a' 2 -h a" 2 = i ,
ada-+- a! da' -\- a" da' = o,
376 GHAPITRE V.
et, en vertu de (7) et (8),
. ds , , . , ds aa' -g-+a da -ha' a -=? = o
ou
(9) ] rf6'=-<fc(g+*-),
Ainsi se trouvent£tablies, et de lafa^on la plus simple, les neuf formules de Serret et Frenet.
