XII. — Enveloppe des plans osculateurs des courbes ganches

on lien de lenrs tangentes.

Soient a, b, c les cosinus directeurs de la tangente a une courbe gauche ; a', b\ d les cosinus directeurs de sa normal e principale ; <z", 6", <f ceux de sa binormale, liquation du plan osculateur au point (x, y, z) est

Pour en obtenir l'enveloppe, il faut diflferentier cette Equation,

ce qui donne

da" v N dx „

as ds

or, si l'on remplace -7- par a, ... et si Ton a £gard aux for-

mules de Serret (p. 373) qui donnent -y- = -„> •• •> la for-

mule pr£c£dente devient, en observant que aa" -f- bb" -f- of est nul,

Cette Equation est celle d'un plan perpendiculaire a la normale principale, coupant le plan osculateur suivant la tan-

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMBNT PETITS. 3j7

gente a la courbe qui, par consequent, est la caract£ristiquc de Fenveloppe.

Si Ton diflferentie (2), on aura l'arSte de rebroussement de

Tenveloppe

da' v dx ,

— — (A — X) =— Ct -t- . . . =0.

ds ds

i° Si l'on remplacc —r- par sa valeur a et si Ton observe que aa f -{- bb f -+-cc'=o; 2 si Ton remplace —y- par sa valeur — ( R ~*~" T ) d^duite ^ es formules de Serret, on a

Cette formule, eu £gard a (1), peut s'^crire

(3) a(X — x )-+-b(X~~ jk)-hc(Z — z) = o;

c'est liquation d'un plan normal. Les formules (1), (2) et (3) donnent X = x, Y = y, Z = z. I/ar6te de rebroussement de la surface enveloppe des plans osculateurs d'une courbe est done cette courbe elle-m^me.