XIII. — Enveloppe des plans normanx. — Sphere oscnlatrice
on lien des normales principales.
Conservant les mgmes notations qu'au paragraphe pr6c£dent, liquation du plan normal sera
(1) a(X — x)-hb(Y— y)+c(Z — z) = o;
la caract£ristique de son enveloppe sera donn^e parson Equation et sa diff£rentielle
da v dx
ds ds
c'est liquation d'un plan perpendiculaire a la normale principally situ£e a la distance R du point (x } y, z); les formules (1), (2) representent done Faxe du cercle osculateur. L'£limination de s entre ces formules (1), (2) fera connailre l'enveloppe des plans normaux. Cette enveloppe a re^u le nom de surface polaire.
L'ar6te de rebroussement de la surface polaire s'obtient en difF&rentiant (2), ce qui donne
da' ,-j. v . dx cTR
— v- (X — x) — a -.- -h. . .— -jas ds ds
ou bien, paries formules de Serret,
( a a "\tx \ dR
ou, en vertu de (1),
dR
(3) a*(X — *)+6'(Y— y) + cr(Z— *) = -T
ds
Le lieu des centres des spheres osculatrices est precisemerit Var&te de rebroussement de la surface polaire.
En effet, cherchons le rayon p et les coordonne'es X, Y, Z du centre de la sphere osculatrice. Pour cela, il faudra£crire que cette sphere passe en x,y 7 z ; nous aurons alors
(0 { X-xy-->r(Y-y)* + (l-z)*= 9 *;
on devra. ensuite differentier cette Equation, en supposant que x,y, z appartiennent a la sphere, puis exprimer que les dx, dy, dZj . . . que Ton en de'duit sont dgaux a ceux de la courbe, ce qui produira
(X — x) dx -+-(Y— y) dy -h(Z—z)dz =0, (5) { (X — x)d*x-*r(Y --y)d*y + (Z — z)d*z = ds*,
(X — x) d*x -f- ( Y —y) d*y + (Z — z) d*z = 3ds d*s.
QUESTIONS DEPENDANT D'iNFINlMENT PETITS. 379
Ces Equations font connaitre X — x 7 Y — y 9 7j — s, et, en )es portant dans (4), on en d£duit p. Or la premiere Equation (5) est liquation du plan normal; quand on y consid&re X, Y, Z comme coordonn£es courantes, les a litres formules
(5) sont ses differentielles; les trois formules (5) represented done ]'ar£te de rebroussement de la surface polaire. Les Equations (5) sont done £quivalentes a (i), (2), (3), et Ton en tire, en multipliant la premiere par a, la seconde par a', la troisi&me par a", etc., eten les ajoutant,
as
as et en faisant la somme des carr£s et ay ant 6gard a (4),
Supposons que Ton cherche un point (x<>y, z) sur la courbe, tel que sa distance p a un point donne (X, Y, Z) soit minima, il faudra poser
et dilKrentier cette Equation identique a (4); on aura alors la premiere Equation (5), ce qui indique que le point demands (jr^y, z) est sur le plan normal a la courbe men£e parX, Y, Z. Si toutefois la seconde Equation (5), diff&rentielle de la premiere, etait satisfaite, le point (X, Y, Z) serait sur l'intersection de deux plans normaux infiniment voisins, et p ne serait plus ni maximum, ni minimum; a moins en fin que la derniere equation (5) n'ait lieu £galement, alors le point (X, Y, Z) serait pr£cis£ment le centre de la sphere osculatrice en #,jKj z.
38o CHAPITRB V.
Le centre de la sphere osculatrice, corame Ton voit, est, sur Paxe du cercle osculateur, le point pour lequel sa distance a la courbe a un minimum, a l'exclusion de tous les autres.
Remarque. — Solent a f , b u c { \ a b\, c\\ a\, b\ 7 c*, s lf R 4 , T< les quantit£s analogues a a, b, c, . . . , R, T, rnais relatives a l'ar£te de rebroussement de la surface polaire. Le plan normal de la courbe propos£e est, d'apr&s la definition dela surface polaire, le plan osculateur de Tar£te de rebroussement de cette surface ; done
En diffdrentiant ces Equations et appliquant les formules de Serret, on a
T dSl = a dSl
(») \ Y ds t = - ds,
^ds^-^ds
et, en ajoutant les carr£s,
ds t ds (3) TT = TT
Multiplions les deux derni&res Equations (2) et les deux dernieres equations (1); nous avons
e'est-a-dire
M-Wa^'-"*,
done, en vertu de (3),
(4) a l = —a', b\~ — 6", Ci = —c'.
QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PBTITS. 38i
Done le plan normal & Varite de rebroussement de la surface polaire est par allele an plan osculateur de la courbe proposSe.
En fin, si Ton differentie les formules prec£dentes en ayant egard aux. relations de Serret, on trouve
— ds x = — y ds > (5) < QdM t = -£dt,
d'ou 1'on tire, en ajoutant les carr£s, a dst ds
