XIV. — Developpees des courbes gauches
On dit qu'une courbe A est une d£velopp£e de la courbe B, si les tangentes a A sont normales a B.
Les normales principales d'une courbe ne sduraient envelopper une developpee de la courbe et, par suite, le lieu des centres de courbure ne saurait non plus &tre une developpie.
Pour le prouver, ilsuffitde calculer la plus courte distance de deux normales principales infiniment voisines et de montrer que cette plus courte distance est du premier ordre.
Les Equations de la norm ale principale sont, avecles nota tioDs du paragraph e precedent,
celles de la norm ale infiniment voisine sont
X — x — dx Y — y — dy Z — z — dz
a' -t- da ~ "" V -h db~ + ~~? — dc' '
Si Ton appelle h la plus courte distance en question, on a
: i/fjdc'-c'db'f + ic'da' — a'dc'f-i-ia'db' — b'day
dx
dy
dz
da'
db'
dc'
ou, en vertu des formules de Serret,
h = ds*
: sJdd*->rdV*^dc*
ds* Rds
Cettc quantite h est done bien du premier ordre.
Un proc^de* analogue a celui-ci montre que la plus courte distance de deux binormales infiniment voisines est £gale a ds aux termes du second ordre pres.
Theoreme I. — Les diveloppies d'une courbe se trouvent sur la surface po lair e.
En effet, si Ton considere deux tangentes a la developp^e, elles seront dans deux plans normaux a la courbe proposed, et, comme elles se coupent en un point de la d6velopp£e, ce point de la developpe'e se trouvera a Intersection de deux plans normaux, e'est-a-dire sur la surface polaire. Nous a lions le verifier par Tanalyse.
QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 383
En conservant toujours nos notations, les Equations d'une nor male quelconque seront :
i° L'equation du plan normal
2° Liquation d'un plan passant par la tangente, d'ailleurs tout a fait quelconque ; en appelant i Tangle que ce plan fait avec le plan osculateur, son Equation pourra £tre presentee sous la forme A" = A' tang i ou A* — A'tangi = o, A" d£signant la distance du point (X, Y, Z) au plan osculateur, et A' la distance du m&me point au plan perpendiculaire a la normale principale. Liquation A" — A / tang« = o peut s'^crire
(a) £j( a * — a tang*)(X — x) = o.
Sp£ciGons maintenant que la droite ( i ) , ( 2 ) engendre une surface deVeloppable ou rencontre la normale qui lui est infiniment voisine, nous aurons la condition pour que (X, Y, Z) soit le point d'une d6velopp£e. Si, pour abr^ger, on repr£sente (1) et (2) par P = o, Q = o, la droite infiniment voisine de celle que nous consid£rons sera representee par P -f- dP = o, Q -+- rfQ = o, et la position du point (X, Y, Z) ne sera pas alte^e en remplagant ces formules par rfP = o, rfQ = o. Ce sont ces Equations que j'^cris
Nrfa(X — x) — ^^adx = 0,
y^da" — da' tang i — a's£c* idi){\ — x) — yjja* — a' tang i)dx = o.
D'apres les formules de Serret, ces Equations peuvent fitre remplacees par
(4) 2L^^(R^T) tangl ~ as6c,l ^J^ x ~" a:) = 0,
La condition de rencontre s'obtiendra en eliminant X, Y, Z
entre (i), (2) et (4), ce qui donne, toutes reductions faites,
... 1 di
d'ou Ton conclut que di est Tangle de torsion et que i renferme une constante arbitraire, puisqu'il est donne par sa derived. II en resulte que X, Y, Z, donnas en fonctions de i par les formules (1), (a), (3), renfermeront une constante arbitraire; done :
TheoremeII. — Une courbe a une infinite de diveloppees.
Ces de\elopp£es sont sur la surface polaire, car (1) et (3) sont liquation d'un plan normal et du plan normal voisin. Elles repr^sentent l'axe du cercle osculateur.
De (1), (2), (3) on tire
j X — x = R(a'-*- a" tangt), (6) Y-y = R(b'~PtMgi),
( Z — z = R(c'-r- c'tangi);
ce sont les Equations d'une des d£velopp£es. Si nous differentions ces formules, nous aurons
dX — ads = dR(a'-h a* tang i)
/a a' a' . w , . di\ .
* iK \- R " T ^ T taD B , + fl SeC ' di)*
et, en simpliGant, puis en observant que = = -j-,
dX = dR{a'-+-a" tang i) -+- R (a' tang i -+- a' tang 1 i)di;
en ajoutant cette Equation avec ses analogues apres les avoir elevdes au carre, on a, en appelant s t l'arc de de'velopp^e,
ds\ = (dR-h R tang i eft )*(i-*~ tang'i)
oil
, dR Rtangi __. dR ^ , 1
dSi = . H ?- di = . -h Rd .
cost cost cost cost
QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 385
Oil
\COSl/
R Or . est la distance du point (X, Y, Z) au point (x,y, z), ce
dont on peut se convaincre en ajoutant les carrtfs de (6); en appelant done u cette distance, on trouve
ds\ = du, S\= u — Wo-
Theoreme III. — Uarc de developp&e est done egal aux differences des distances deses extremitis aux points correspondants de la courbe proposie.
Appelons a«, 6 ( , c«, . . . , R|, T t les quantity analogues a a, 6, c, . . . , R, T relatives a la d6velopp£e ; on a e* videmment
a x a -+- b\b -v C\C = ^ aa,\ = o,
puisque la tangente a la deVeloppee est, par definition, normale a la courbe proposed.
On a aussi
(7) X — x—a x u^ Y — yz=b i u > Z — -8 = c,w;
si l'on differentie ces formules, en tenant compte de ds K = du, on trouve
<X\ dsi — ads = a x ds x -\ — —— dsi ;
par suitej
ads = ^— dsi, bds = ~ ds u
on en conclut
ds u . , . , ,
(8) di = W 9 « = —«i» b=—b k , c = — Ci;
done :
Theoreme IV. — La normale principale de la developpie est parallele a la tangente a la courbe proposee.
Si Ton diff&rentie les formules (8), on a
en £levant au carre" et en ajoutant, il vient
TJ
On voit que T t ne peut 6tre infini que si -~ = ^- ou R = R
et alors a'= a i7 b'= b t , d = C\ ; la deVelopp£e est done tangente a une parallele a la normale principale, e'est-a-dire a cette normale principale; or deux normales principales ne peuvent se rencontrer que si la courbe est plane; done :
Th£oreme V. — Les d£velopp£es des courbes gauches sont gauches, les diveloppSes des courbes planes sont gauches, a V exception de celle qui est dans le plan de la courbe.
Da lien des centres de conrbnre.
Le lieu des centres de courbure ne saurait £tre une d6velopp£e, puisque les normales principales ne se rencontrent
Fig. 3 7 .
is'
pas. Mais ce lieu se trouve sur la surface polaire, qui est le lieu des axes des cercles osculateurs et qui contient, par suite, les centres de ces cercles.
QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PBTITS. 887
Soienl
MT la tangente a la courbe propose'e ;
MN la norm ale principale ;
MH la binormale;
NN' Taxe du cercle osculateur.
La tangente a la d£velopp£e au point M' de cette courbe est la normale MM' a la courbe proposed, W n parallele a MT est la normale principale de la de>eloppee, M'A binormale de la developp^e est dans le plan normal a la courbe proposee ; on a done
\ai a = o, ^a!a'=cosi, 7 k a \ <£ — sin t, ^a*i a = o ; • 2> a \ a ' = sm ' > \, a \ a " =
cost;
II rtfsulte encore de la que le plan osculateur de la deVeloppee MM' n est normal a la surface polaire ; car la normale principale M'/i est perpendiculaire a la tangente MM' de la d£velopp^e et a la g£ne>atrice M'N de la surface polaire, e'est-a-dire a deux tangentes passant en a! de la surface polaire.
Une courbe traced sur une surface, et dont la normale principale et, par suite, dont le plan osculateur est normal a la surface, est dite ligne giodisique; ainsi :
Theoreme I. — Les divelopp&es sont des giodesiques de la surface polaire.
Le plan M'MN est tangent a la surface polaire, car il en contient deux tangentes, a savoir MM' et la generatrice M'N. Cela pose", enroulons le plan M'MN sur la surface polaire; comme du ou rfMM' est £gal a ds t , si nous designons par des lettrcs portant l'indice o ce que deviennent les points
388 GHAPITRB Y.
M', N', . . . quand M passe en M situe" sur la courbe proposed, la droite MM' s'enroulera sur la surface polaire, le point M' tombant en M' , et il arrivera un moment ou le point M lui-m6me s'appliquera sur la surface polaire; mais ce poinl M coi'ncidera alors avec le point M ; done :
Theoreme II. — Lorsque Von enroule le plan M'MN sur la surface polaire, toutes les developpees sont les courbes suivant lesquelles s'enroulent les nor males telles que MM' et, par suite, toutes les developpees passent par un point fixe.
R£ciproquement, quand on developpe la surface polaire, les developpees se transformeront en droites passant par un point fixe.
Le lieu des centres de courbure est le lieu des pieds des perpendiculaires abaisse'es des points M sur la g^neratrice de la surface polaire; done :
Theoreme III. — Le lieu des centres de courbure est, apr&s le developpement de la surface polaire, la podaire du point par lequel passent les developpees, par rapport & la transformee de Var&te de rebroussement.
