COS I
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Mil / — •
tang/ = 5'
Les developpantes de la courbe propos£e sont les trajectoires orthogonales des tangentes; elles sont, par consequent, situ£es sur la d^veloppable lieu des tangentes. Consid^rons une de ces developpantes et menons-lui un plan normal ; ce plan normal passera par la g£n£ratrice de cetted£veloppable, e'est-a-dire par la tangente a la courbe proposee en (#,JK, z), et il sera perpend iculaire au plan, tangente de cette developpable : ce sera precisement le plan rectifiant en x, y, z, Ainsi :
Le plan rectifiant est normal aux diveloppantes de la courbe proposie.
Le plan rectifiant enveloppe done la surface polaire, commune a toutes les developpantes de la courbe proposee; or
3o,<> CHAPITRE V.
la courbe proposee £tant une d^veloppee de ses developpantes i° se trouvera sur la surface polaire en question, ce qui £tait Evident; 2 se transformera, apr&s le d£veloppement de la surface rectifiante, en une ligne droite. On peut dire que :
La surface rectifiante d'une courbe est une developpable contenant cette courbe, et telle que, si Von developpe cette surface sur un plan, celle-ci se transforme en une ligne droite.
La surface rectifiante est d'ailleurs la seule surface jouissant de cette propriety; car la courbe proposee, devant se transformer en une ligne droite, est une geod£sique de la surface, et nous verrons plus loin que les g£od£siques d'une surface ont leur plan osculateur normal a cette surface. La surface cherch£e doit done avoir son plan tangent normal au plan osculateur k la courbe proposee ; comme il doit contenir la tangente a cette courbe, il est d£ termini et son enveloppe Test par suite. c. q. f. d.
