XVII. — Sur le deplacement des figures

Nous allons maintenant ^tudierle mouvement d'une figure invariable de forme. Quoique ce sujet soit traits k fond dans la M£canique rationnelle, nous en dirons ici quelques mots, a cause de l'importance qu'il a en Geometric

Rapportons la figure mobile a deux syst&mes d'axes, 1'un ox , oy y oz parfaitement fixe, I'autre Q£, Q7j, Q£ mobile, mais invariablement li£ a la figure mobile.

Soient x,y, z les coordonn^es d'un point de la figure mobile par rapport aux axes fixes, £, 7j, £ les coordonndes du m£me point par rapport aux axes mobiles; £, 7), £ seront constants et rf$, dy\, a% seront nuls pendant le mouvement.

Soient x 0f y , z les coordonndes du point Q par rapport aux axes fixes; en appelant a, b, c f a', b', c 7 , . . . les cosinus

QUESTIONS DEPBNDANT D'lNFINIMENT PETITS. 3()I

directeurs des axes mobiles par rapport aux axes fixes, on aura les forniules connues

Ix = x •+■ a \ -+- d 7) ■+- a" £, y=y. + b\ + b\ + Vl, z = zo-t- c £ ■+■ c'tj -+- c" £ ;

en supposant alors que le systeme prenne un mouvement infiniment petit, il viendra

Idx = dx -+- \da -+- r, aV -+- (aV, ay = dy -h%db -hr\ db' -+- X,db*, - dz = dz -+- £ dc -+- 7j aV -+- J<fc r .

Le d^placement rf$ du point a:, j', z est la r£sultante de deux autres dont les projections sont dx , dy , dz et

Ioa? = \da^r-r\ da! -+- (oTz", ly = ldb-^r i db , -hZdb", Zz — \dc-~- i\dc' -+- X^dc" .

Quel que soit le point (#, y> z) y le d^placement dx , dy^ dz sera le mdme : ainsi on peut regarder le premier d^placement comme un mouvement de translation; conside>ons le second. En vertu des relations bien connues entre les neuf cosinus a, b, c, . . . , on aura par differentiation

a da ■+- b db -+- c dc — o, a' da' -t- 6' d&' -f- c' oV = o, aW-t-6W+c'^=o;

a" da' + b° db' + C" dc' = — (a? dot -\- b'db"^- c' dc") = />A, a aV-t- 6 a7>*-f- c dc' = — (a" da -t- £'a*6 ■+■ c'ac ) = qdt, a' da ->rb' db -*- c' dc = — (a da' -+- 6 a*6' ■+- c aV ) = r^ ;

dt ddsignant une variable ind^pendante, qui sera, si l'on veut,

I'lllment d^crit par le point x , y , z .

Ceci pose\ multipiions les Equations (3) par a, b, c et

ajoutons-les, puis observons que aZx -+- bty -±- c$z est la

projection du du d^placement ox, Zy 9 Zz sur l'axe des 5, nous

aurons

du =(£y — ijr)a7;

392 CBAPITRE V.

appelant de m£me dv et dw les projections du de placement 8.r, 8^, 8s sur Q7j et Q£, on a le groupe de formules

Idu = ( £# — T^r)dt t rfp = («r-C|i)rfl f dw =(r t p — \q)dt.

Dans ce deplacement, il y aura des points qui resteront im mobiles ou, pour parler plus exactement, il y aura des points qui d£criront des chemins du second ordre : on les obtiendra en faisant du, dv, dw = o dans les Equations (5), qui deviennent alors

et qui se rlduisent a deux

les points qui dans le deplacement restent immobiles sont situ£s sur une droite (6). Cette droite a regu le nom d*aze instantani de rotation relatif au point Q; la direction de cet axe est ind£pendante de ce point Q. Ses cosinus directeurs sont, en posant

(7) p 1 -f- q* -4- r* = oj*,

donnas par les formules — > — > - : on voit que, dans le d6pla-

r www * J *■

cement partiel que nous consid^rons, tous les points tourneront autour de 1'axe instantan£, et que le mouvement peut 6tre consid£r£ comme un mouvement de rotation autour de l'axe instantand.

On peut done £noncer le theor&me suivant :

Theoreme I. — Tout mouvement d* une figure invariable de forme peut 4tre d&composi, et cela d'une infinite de mani&res, en deux mouvements : Vun de translation, V autre de rotation.

QUESTIONS DEPENDANT D'lNPINIMENT PETITS. 3q3

De quelque maniere quesefasse la decomposition, l'axe de la rotation a une direction constante.

Remarque. — Si la figure mobile pr£sentait un point fixe, on pourrait supposer que ce soit le point (x ,y , z )', alors on a u rait dx = 8#, dy = 8^, dz — $z. Done :

Theoreme II. — Tout mouvement infiniment petit d 9 une figure invariable de forme, qui prSsente un point fixe, peut etre consider 6 comme une rotation autour d'un axe passant par le point fixe.

Reprenons les formules (5), faisons dans ces formules t\ = £= o, puis faisons momentan£ment coi'neider l'axe Q£ avec l'axe instantane; alors/? = q = o, r = <*>, on trouve

du = o, dv = a>£ dtj dw = o.

Ces formules montrent que {t>dt= -y-; oxdv est, en grandeur,

le chemin parcouru par un point situ£ a la distance \ de l'axe: done todt est Tangle dont a tourn£ le syst&me \ pdt, qdt, rdt sont les projections de cet angle sur les plans des fo, des £!; et des fo.