XIX. — Sur le deplacement des lignes remarqnables liees

aux divers points d'une courbe.

Conside'rons le triedre forme par la tangente, la normale principale et la binorinale d'une courbe, et etudions son deplacement par rapport a trois axes fixes Ox, Oy f Oz.

Soient a, 6, c les cosinus directeurs de la tangente, a\ V , d ceux de la normale principale, et a", 6", c" ceux de la binormale; soient R et T les rayons de courbure et de torsion, ds 1'arc de courbe, dp, dq, dr les projections du defacement angulaire des axes li£s a la courbe, on aura, en vertu des formules de Serret (p. 3^2),

qds = — {a" da -+- b'ab -+- c'dc) = — ( a" - R - -+- b* ^ •+- c* ^ j ds = o, rds = (a'da — b'db — c' dc) = ( a! — -+- b' rr- 4- c f ^ jds = -+- -^- •

Done le triedre consid£re subit d'abord un mouvement de

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translation parall&le a ds y puis un mouveraent de rotation

autour d'un axe situE dans le plan rectifiant; les cosinus des

angles que cette droite fait avec la tangente et avec la binor-

male sont

t/R 2 ■+- T* ' /Ri^T*' Tangle de rotation est

Si 1'on se reporte au § XVI, on voit que Taxe instantan£ de rotation n'est autre chose que la droite rectifiante : de la vient l'expression de droite rectifiante.

Supposons que Ton brise une courbe a 1'extrEmitE de chaque element ds dans laquelle on peut la decomposer; si 1'on veut ramener tous ces elements en ligne droite, il faudra les faire tourner autour de l'axe instantanE qui est la droite

rectifiante de Tangle ^7^ ^R a •+- T 2 , ou successivement autour

ds de la binormale d'un angle £gal a -~- et autour de la tangente

d'un angle Egal a ^ • Cette derni&re mani&re de procEder est

Evidente. Ce qui Etait moins Evident, c'est que ces deux mouvements successifs Etaient Equivalents a un mouvement de rotation unique effectuE autour de la droite rectifiante.