XXIII. — Projections de l'helice
Lorsque Von projette obliquement une h&lice sur un plan, on obtient une cycloide allongie, raccourcie ou proprement dite.
En effet, les Equations de l'h£lice 6tant
(i) x = rcos9, y = rsino, s= — cp,
une droite parall&le au plan des zx a pour equations
(a) y = a, z = mx -h n;
la condition pour qu'elle rencontre rhdice est
(3) rsincp = a, — cp = mr cos cp -+- n.
Supposons que Ton ait £limin6 cp, on aura une relation
xsy(a, n) = o;
en ^liminant a et n entre cette Equation et (2), on aura liquation du cylindre parall&le a la droite (2) passant par
l'h&ice, ou
rn(y, z — mx) = o.
QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 4<>3
Ainsi ce cylindre s'obtient en lliminant a, n } cp entre (2) et (3).
£liminons d'abord a et n, nous aurons
y = rs\ny, z cp = m(x — r coscp).
Si main tenant on veut avoir la trace du cylindre sur le plan des xy, il faudra faire z = o, ce qui donnera les Equations
y=a rsin©, a? =r coscp cp.
Je dis que ces Equations sont celles d'une cycloide allong£e ou raccourcie : en effet, transportons Torigine au point dont
les coordonn£es sont o et > nous aurons
mm
y = \- r sin 9
x = 9 + r coscp ;
ait/n T T
change on s a: en — x, y en — ^, il viendra finalement
x = cp — r coscp,
h ' ait/n
Ce sont bien les Equations d'une cycloide allongle ou raccourcie.
Si Ton prend
= r ou m =
air/Ti airr
on aura une cycloide propreinent dite. Or liquation de la projection de l'helice sur le plan des zx est
z= — arc cos - •
air r
On en d£duit
dz
dx et, pour x = o,
L'inclinaison qui donne la cycloid e est done facile a construire. Elle est, comme Ton voit, parallele a la tangente a l'h^lice (il ne faut pas oublier, en effet, que Ton a change x en — x).
