XXIV. — Theoremes do Puisenx et de M. Bertrand

Theoreme de Puiseux. — Toute courbe dont les deux courbures sont constantes est une helice ordinaire.

On a, en effet, en nous servant des notations employees

plus haut,

da'

ds

e'est une des formules de Serret. Or, si R et T sont constants, la differentiation donne

d*a' __d __ d ds* ~ U* T»'

et, en posant gi + ji = jr

d'ou

d*a' ds*

da' ds

d*d ds*

da ds

et

(da'\* a'* .

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. /Jo5

h d£signant une cons tan te. On en d£duit

i da' ds

ksfh / a'* k V 1 hk*

et, par suite,

a' s arc sin — — = T -+-/>,

ksfh k

p designant une constante

On en tire

a' = k Jh I cosp sin j -+- sin/? cost ) ;

on aurait deux form ales analogues pour calculer b' et c', a savoir

b' = k /if cos q sin -r -+- sin q cos t ) »

c' = k ^jl cos r sin t •+■ sin r cos t ) •

On doit conclure de la a! 2 -f- b' 2 -+- c' 2 = i , quel que soit $; done

i = y t (k y/A cosp) 1 sin 1 T -+- a^(A: y/Aj^sin-rCOST sin/? cos/> («) {

7X^ y/Asin/?)'cos* 7 : ;

en particulier, pour s = o, on a

k* A 2* sin*/? = 1 ,

ce qui suppose que kyjhsmp, k\fhsinq, k^hsinr sont les cosinus des trois angles que fait une mime droite avec des

axes rectangulaires. On en dirait autant de ksfhcosp, etc.; la formule (a) donne alors

o = £\k /A) 1 sin/? cosp.

Done les deux droites en question sont rectangulaires, et Ton

4o6 CHAPITRB V.

peut poser, en donnant une nouvelle signification.^/?, 7, r, et en appelant/?', q\ r* de nouvelles constantes,

a' = cosp cos-r -4- cos/?' sin t >

b' = cosq cos-r -t- cosy'sinT*

c =cosrcos T -+-cosrsin T k k

Si I'on observe alors que a r = R -t-j-> • • •> on aura

cfox s s

R -ry = cosp cos-r -+- cos/?' sin -r>

R -T- = -+• Xrcos/?sin-r — A: cos/?' cos -r -4- A,

A d£signant une constante; mais( -j-) -\-\-r-) "+■(3") ^°** faire l'unit£; done, en raisonnant com me tout a l'heure, on

voit que A est le produit par y/R 2 — k' 2 d'un cosinus cosp 9 relatif a une droite perpendiculaire aux deux droites d£ja considlrles. On en conclut de nouveau

Ra? = — k 1 cosp cos-r — k* cosp' sin t -+- k l cosp's / R* — k* 9

Si nous prenons pour axes de coordonn£es les trois droites rectangulaires denies par les angles^?, /?', /?", y, y 7 , gr", r, r* f r", nous aurons, en appelant X, Y, Z les nouvelles coordon-

n£es,

RX s n Y . s RZ

- Tr =cos 7 > R Ti =sin 7 > = *;