X:* A: A* A: ^rjT>i

ce sont bien les Equations d'une helice.

Theoreme de M. Bert rand. — Quand le rapport des deux courbures d'une courbe est constant, cette courbe est une hilice tracte sur un cylindre a base quelconque.

QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMBNT PBTITS. t\OJ

Comme on a

da a! da' a'

on en d£duit

ds ~ R ' ds ~ T '

<f a <£& dc

da' db' dc' k

k design ant le rapport constant des courbures, ou

da' — k da = o, . . . ; d'ou Ton tire

a' — ak = const. ,

Si Ton ajoute les Equations analogues a celle-ci apr&s les avoir £lev£es au carr6, on voit que la somme des carr£s des seconds membres doit faire i -+- A* 2 . On posera done

a*— ak = py/i-^r k l , b' — bk = q ^i-h k* y c'—ck = r/i-t-A:*,

p, q y r design ant les trois cosinus directeurs d'une droite arbitraire. Prenons cette droite pour axe des z, nous aurons

a' = ak, b' = bk y c*= ck -+- /i-f- A*.

En elevant ces equations au carr6 et en les ajoutant, on trouve

i = A*-t-acA:/i-t- ^*-t-n-^ s ou

c= > c= -t-yi + K

yn-A* /i-t-A:*

Ainsi c et c" sont constants et, par suite, la tangente et la binormale font des angles constants avec une m£me droite. De c r= const, on d£duit

dz , di= h >

h d6signant une constante. Cette formule peut s'£crire

dz 1

4o8 CHAPITRB T.

ou bien

dz* A*

ds* — dz* h> — i Si Ton prend alors pour variable Tare

da = ^ds* — dz % = \J dx* -*- dy 1

de la base du cylindre projetant la courbe sur le plan des xy^

on a

dz* __ A»

dv* "~ A* — i

dz = m ds;

ainsi

(t -+- const.

L'ordonn6e varie done proportionnellement k l'abscisse curviligne, et, par suite, la courbe est une h£lice tracee sur un cylindre quelconque.