XXV. — Sur les conrbes spheriques

Lorsqu'une courbe est tracee sur une sphere, cette sphere est sa sphere osculatrice et, en appelant p son rayon, on a

—J =r o et p = R. Mais

on peut avoir aussi T = oo , et alors la courbe est plane.

Si R = p, il y a doute; mais il est facile de prouver que sur la sphere toutes les courbes de courbure constante sont des cercles, comme il suit.

QUESTIONS DEPENDANT D'iNFINIMENT PETITS. 4<>9

Les Equations qui d£terminent le centre de la sphere osculatrice sonl celles de trois plans normaux voisins, ou

Faisons X = o, Y = o, Z = o; en plagant l'origine au centre

dK ds

de la sphere osculatrice, supposons —r- = o, R = p; nous

aurons

x = — pa\

-po'

et, en lliminant p,

yd*x — x d*y — o, ...,

ce qui revient a

5 dy — y dz — A rfs,

y dx — xdy — Cds.

De ces Equations on tire, en multi pliant la premiere par x, les autres par^ et 3, et en ajourant,

Kx ■+- B^ -+- Cz = o,

ce qui prouve bien que la courbe est plane.