XXVI. — Formulas de M. Hesse poor le plan osculatenr

M . Otto Hesse a fait connaitre une forme assez condens£e de liquation du plan osculateur d'une courbe ou de son rayon de courbure ; quand cette courbe est donn£e par Intersection de deux surfaces rapport£es a des coordonn£es t£tra£driques ou homogines

(l) y(X u X tl X Zi X k ) = O, ty(X U X ti X z , X k ) = O,

4lO CHAPITRE Y.

on a entre les coordonnles la relation

(a) 2^ar/=V,

ou a«, a 2 , a 8 , a 4 d£signent les faces du t£tra£dre de reference et V le triple de son volume. Soient

Si = f" w, = +<•

liquation d'un plan passant par la tangente a la courbe est de la forme

c'est liquation d'un plan passant par le point x<, . . . , x K et par le point x { -+- rfj?i , # 2 -f- rf# 2 , .... Si 1'on exprime qu'il passe par le point x s -\- dx K -\-^d 1 x u #*-+-•••» ou que la distance du point x t -+- A<r<, # 2 -h Aj? 2 , • • • est du troisi&me ordre, on a, pour determiner \ \ [x, liquation

^ et [x ou plutdt leur rapport est determine. Nous pouvons prendre

(4) X = 2*' rfta7 » P- = 2+' rf,a?/;

mais nous allons nous d^barrasser des differentielles et nous observerons que Ton a

(5) 2?'^'= °» 2jttd*i= <>»

(6) yNp/d 1 *?/ + ^Wijdxidxj = o, Vtyrf 1 *?,- -t-zjtyijdxjdxj = o.

QUESTIONS DEPENDANT D'iNFINIMENT PETITS. (\\ I

Enfin la formule (2) donne

^ j a/ dxj ==■ o.

A l'aide des formules (6), les formules (4) peuvent s'£crire, en n£gligeant le signe, ce qui finalement n'a pas d'influence,

= j£ VJ ^i d*), (x = j£ tyj dxidxj.

Des formules (5) et (7), il s'agit maintenant de tirer dx 2) dx%, dx A pour les porter dans (8), en n£gligeant dans X et jjl un facleur qui leur sera commun. On aura

Avant d'6crire la valeur de [x, simplifions celle de \. Pour cela, multiplions la premiere colonne par x i9 la seconde par # 2 , la troisi&me par x 8 , la quatri&me par # 4 , la cinqui&me par — (m — 1) (m designant le degr£ de la fonction homog&ne ^p); ajoutons ces colonnes pour en faire la cinqui&me ; proc^dons de mdme sur les lignes; ay ant ensuite £gard au theor&me des fonctions homog&nes, nous ramenons notre determinant k la forme