D6montrer
i° Que toute courbe plane S tracee sur un plan horizontal peut 6tre consid6ree comme Fombre d'une certaine surface de revolution R dont l'axe est vertical, edairee par des rayons que Ton supposera paralleles.
2° La developp£e de la courbe S est alors l'ombre du conofde ayant pour axe l'axe de la surface de revolution R, pour plan directeur le plan horizontal et pour directrice la courbe d'ombre propre de la surface de revolution. (Dunesme.)
3. Si les generatrices d'une surface developpable tournent d'un mgme angle autour d'une trajectoire orthogonale T ( l ) de ces generatrices, le lieu de leurs nouvelles positions est une autre developpable dont l'argle de rebroussement est sur la surface polaire de la trajectoire T.
6. Les tangentes a deux developp£es d'une courbe C, qui aboutissent en un m&me point de cette courbe, se coupent sous un angle constant.
7. On sait que, pour qu'une courbe soit plane, il faut et il suffit que son determinant soit nul; trouver un criterium analogue pour reconnaitre si une courbe est spherique.
8. Trouver un criterium qui permette de reconnaitre si une courbe peut etre placee sur un c6ne de revolution.
Examen du cas ou le c6ne est une sphere de rayon nul.
9. Si par les divers points d'une courbe gauche on mene les tangentes, on formera une developpable; coupons cette developpable par le plan osculateur en M a la courbe, l'intersection se composera d'abord de la gene>atrice de la developpable passant en M,f>uis d'une certaine courbe tangente a l'ar£te de rebroussement. Si Ton appelle R t le rayon de courbure de cette courbe en M et R le rayon de l'arele de rebroussement au m£me point, on aura
10. Soientar,/, * les coordonnees d'un point d'une courbe gauche. Si Ton designe par des accents les derivees prises par rapport a l'arc,
(») On appelle trajectoire* orthogonale* d'une famille de courbes une autre famille de courbes coupant toutes celles-ci a angle droit.
4*4 GHAPITRE V.
on a, en appelant R le rayon de courbure, T \e rayon de torsion,
aft +y i + j'i - , f
^J ^ RtT 1 R*
11. En appelant, comme dans le texte, a, b, c les cosinus directeurs de la tangente a une courbe, a, 6', c' les cosinus directeurs de la normale principale, a", &*, c' les cosinus directeurs de la binormale, on trouve
da 9 — y «';
da= — a', da'= —ds(^-h^j,
ce sont les formules de Serret.
On a en outre
rf»o = g- a -+- tfsd R * ~~ RT '
c? 1 a' = — dsd- a — d * % (jfr "+" ft) *'"""*** 5 a '>
Les diflerentielles d'un ordre plus eleve ont £te calcul6es par M. Brisse (Annales de l'6cole Normale, 1874); ellessont calculees jusqu'au sixieme ordre.
12. La difference entre un arc et sa corde est donnee par la formule suivante, ou R et T designent la courbure et la torsion :
, ds* ds 3
ds — c
ds 1 , 1 ds* / 1 1 \
4R R" 240R* \SK* "*" 3TV
(Gavabni.)
QUESTIONS DEPENDANT D'lNFINIMENT PETITS. 4*5
13. Soient h la plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines d'une courbe gauche, R, T les rayons de courbure et de torsion de cette courbe, ds Te'llment d'arc ; on a
A= 7JRT'
aux termes du quatridme ordre pr&s.
14. Soient a\ Tangle sous lequel se coupent deux spheres osculatrices infiniment voisines d'une courbe gauche, ds, R, T son arc 616-
mentaire, ses rayons de courbure et de torsion, —- sera en quelque
sorte une troisieme courbure <je la courbe. Nous la d6signerons par y et nous aurons, en appelant p le rayon de la sphere osculatrice,
X ~ Tp dR' (Magnus de Sparre, Bull, de la Soc. Statist, de VIskre y 1875.)
15. En conservant les notations des exercices presidents, Tangle (3 qu'une tangente fait avec le plan osculateur voisin sera donne par la
formule
ds* P ~ IRT'
done
ft 6A
P= zn
ds * aux termes du troisilme ordre pres. (Id.)
16. En faisant toujours usage des notations des numlros precedents, la distance 8 d'un point de la courbe a la sphere osculatrice au point infiniment voisin est donnee par la formule
17. Soit y Tangle que la plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines fait avec la binormale, on a (toujours avec les notations des exercices presidents)
1 ds
4l6 CHAP1TRB V. — QUESTIONS DEI*BNDAftT, ETC.
18. L'angle g de deux normales principales infiniment voisines est (en employant les m£mes notations que dans les exercices precedents) donn£ par la formule
19. La plus courte distance H de deux normales principales infiniment voisines d'une courbe est (en se servant des notations des exercices precedents) representee par la formule
