I. — Des contacts des differents ordres

On dit que deux surfaces sont tangentes en un point M, lorsqu'en ce point elles ont le m&me plan tangent. Alors il est facile de constater qu'une corde NN', non parall&le au plan tangent et ne faisant pas avec lui un angle infiniment petit, est du second ordre par rapport aux lignes MN et MN ; , qui sont d'ailleurs de m&me ordre. comme c6t6s d'un triangle opposes a des angles finis. En effet, la ligne NN' est 6gale a la somme des perpendiculaires abaiss^es de N et N' sur le plan tangent respectivement multiplies par certains sinus d'angles finis; ces perpendiculaires etant du second ordre, il en sera de m&me de NN'.

Ainsi, en general, quand deux surfaces se touchent, leurs cordes communes sont du second ordre ; mais on congoit que l'ordre de ces cordes puisse 6tre plus £lev£. Nous regarderons alors le contact comme plus intime, et nous dirons que :

Deux surfaces ont un contact d } ordre n au point M, quand, menant une corde commune NN', non parallele au plan tangent, cette corde sera d'ordre n -;- i par rapport a MN et MN' (qui sont evidemment de m£me ordre comme c6t6s d'un triangle MNN' opposes a des angles finis), quelle que soit cette corde.

Cherchons la condition pour que deux surfaces aient entre elles un contact d'ordre n. A cet effet, observons que Ton peut supposer a la corde NN' une direction fixe; en effet, si

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NN' a une direction variable, par le point N menons une corde NP commune ay ant une direction fixe, NP sera de l'ordre de NN' ; car les cdt£s NN' et NP du triangle NPN' sont opposes a des angles NPN' et NN'P finis, puisque, par hypothese, ni NN' ni NP ne sont paralleles au plan tangent, c'esta-dire a aucune ligne telle que N'P faisant un angle infiniment petit avec ce plan.

On pourra alors prendre pour la corde NP la difference des z des deu\ surfaces, pourvu qu'en M le plan tangent ne soit pas parallele a l'axe des z (s'il l'£tait, c'est sur les x ou les^ des deux surfaces que l'on raisonnerait).

Pour que les deux surfaces aicnt un contact d'ordre n, il faudra done, et il suffira que la difference de leurs z dans le voisinage du point de contact soit de Tordre « + i. Or ces z que nous appellerons z et z f au point M se d^veloppent ainsi

z -+- dz - — d*z -+-... d a z -+-...,

z'-+- dz'-i- - d^z 1 'h- . . .-! d n z'-+-

Pour que la difference de ces quantit£s soit toujours d'ordre n -f- i autour du point M, il faut que

z = s', dz — dz\ d*z — d*-z\ . . ., d n z = d n z\

Ainsi les differ entielles des ordonnees z doivent etre les memes jusqu'a l'ordre n inclusivement.

Les conditions pr£c£dentes entrainent les suivantes :

t dz dz' dz dz'

" ~ ' dx ~~ dx' dy ~~~ dy

En d'autres termes, les de'rivees partielles des zjusqu'd Vordre n inclusivement doivent e*tre egales.

Lorsque les surfaces sont donn£es par des Equations telles que

on trouvera corame il suit les conditions du contact d'ordre n. Differentiant une premiere fois ces formules, on aura

■/■ dx -+- ~- dy -+- -/- dz—Oy dx dy J dz

-\- d x -+- -f- dy -+- -4- dz = o ; dx dy J Oz

on 6liminera dz et Ton 6galera & z6ro les coefficients de dx, dy. Differentiant encore, on proc£dera ainsi toujours de la m«me fagon.

Quand on veut exprimer que/=o,/'=o ont un contact d'ordre n, on se borne gen6ralement a differentier J 'une d'elles et Ton suppose que dz, d 2 z, d z z, . . . y soient remplacees par leurs valeurs deduites de l'autre equation.

Theoreme. — Deux surfaces qui ont un contact d'ordre n se coupent suwant une courbe presentant n -h i branches reelles ou imaginaires.

En effet, supposons les surfaces z = y, z = if rapportees a leur plan tangent commun pris pour plan des xy et k leur normale commune prise pour axe des z, leurs z se develop peront ainsi

l'indice o indiquant que Ton doit supposer x = o, y = o. La difference entre z et zf £tant d'ordre n, on aura

|-[(£Si).-(^)j-.|

Or, pour avoir l'intersection des deux surfaces projetee sur le plan des xy, il faut faire z =. z'; on trouve alors

4^0 GHAP1TRB TI.

ce qui est manifestement liquation d'une courbe poss<Sdant a Torigine un noeud an-f-i branches.

La r£ciproque est vraie, car la difference z — z' 6gaiee a z£ro ne peut representor un nocud k n -+- i branches que si les termes du degr£ le moins £lev£ dans cette difference sont d'ordre n + i, c'est-i-dire que si z — J est d'ordre n-\~\. Alors les surfaces ont £videmmcnt un contact d'ordre n.