II. — Plan osculateur

Deux, surfaces sont osculatrices quand, eu egard au nombre de parametres qu'elles renferment, leur contact est deTordre le plus £lev£.

Cherchons le plan osculateur d'une surface

liquation d'un plan est '

(i) Ax + By+Cz + D =o;

elle renferme trois parametres. On pourra Passujettir a trois conditions, differentions-la, nous aurons

(3) B-hCp=-o;

dans les formules (i), (a), (3), nous supposerons qu'a la place de z, p, q on ait pris leurs valeurs deduites de/(x,^, z) = o ; ces formules (1), (2), (3) feront alors connaitre les rapports A : B : C : D et, en les portant dans

AX-+-BY-i-CZ-f-D=o,

on aura Tequation du plan osculateur, lequel a avec la surface un contact de premier ordre. On trouve

c'est liquation du plan tangent, on devait sy attendre.

1NFINIMENT PBTITS DANS LS8 SURFACES. 4^1

Soient r, s, t les d6riv£es secondes de z ; en differential! t encore (2)et(3)eten remplagant to uj ours les d6riv6es de z par celles d£duites de liquation de la surface, on a

Cr=o, .Cs=o, C*=o, ou

Quand ces conditions se trouveront satisfaites d'ellesm&nies, ce qui aura lieu en certains points particuliers analogues aux points d'inflexion des courbes, le plan tangent aura un contact d'ordre plus 61eve, il sera surosculateur et coupera la surface suivant une courbe a trois branches.