III. — Sphere osculatrice. — Ombilics

Cherchons s'il est possible d'£tablir un contact du second ordre entre une surface donn^e et une sphere. Liquation de la sphere est

d) ( x-a)»-KY-?)*H-(Z- T )*=R*,

exprimant que le point (x,y, z) de la surface appartient a la sphere ; on a

Diflerentions cette formule par rapport a x ety, nous aurons, en supposant lep et le q remplaces par ceux de la surface,

les formules (2), (3), (4), au nombre de trois, ne determined pas tous les parametres a, (3, y, R> et l'on peut e'crire entre eux encore une relation ; mais, pour e'tablir un contact

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du second ordre, il faudrait encore trois relations obtenues en difierentiant (3)ct(4), a savoir

s(z — y)-+-pq=o, »+ *(* — Y)+- 9*=o,

en sorte qu'il n'existera pas en general de sphere ayant un contact d'ordre sup^rieur au premier.

Cependant en certains points, que Ton a appel£s ombilics, les formules (5) peuvent £tre accidentellement satisfaites, et servir concurremment avec (i), (2), (3), (4) a la de* termination de a, (3, y, R; on a alors

-Cr-P) = *(*-Y).

La condition pour qu'il existe un ombilic en x, y, z est d'ailleurs donne'e par les relations (6) entre />, q, /% s, f , a savoir

/ ) pq ^ ijt^! = L±JZ!.

Nous retrouverons ces equations plus loin, comme consequences d'une autre thdorie.

Les equations (7) jointes acelles de la surface de'terminent les ombilics; on voit que toute surface possede en g£n6ral des ombilics r£els ou imaginaires. Quelques surfaces possedent des lignes ombilicales, c'est-a-dire dont tous les points sont des ombilics. En fin la sphere est la seule surface r6elle dont tous les points soient des ombilics, comme nous le prouverons tout a l'heure.

Pour qu'il existe une ligne ombilicale, il faut que les equations ( 7 ) se rdduisent a une, et, pour que tous les points soient des ombilics, il faut que les formules (7) soient identiques.

1NFINIMENT PETITS DANS LES SURFACES. I\l2>