XVII. — Tangentes en coordonnees polaires
Lorsqu'une courbe est donnee en coordonnees polaires, il est commode de determiner sa tangente au moyen de Tangle qu'elle fait avec le rayon vecteur.
Soient {fig* 10) r, les coordonnees du point M par rap- Fig. 10.
port au pole O et a l'axe polaire OX. Menons le rayon OM = r et le rayon voisin OM' = r -f- Ar ; du point M abaissons MP perpendiculaire sur OM'; nous aurons
PM
tangMM'P =
GfiOMfiTRIE PLANB. 33
A la limite, MM'P se r£duit a Tangle cherch£ V; PM est 6gal a
OM sin POM = r sin rf6 ou
rrf6,
en n£gligeant les infiniment petits d'ordre sup£rieur au premier ; M'P est la difference entre
r + Ar = OM' et OP = rcosd8,
ou, en n^gligeant les termes d'ordre sup£rieur, la difference entre r -+- dr et r, c'est-a-dire dr; on a done
tang V = lim — j— 9 dr
quand rf8 = o; mais la limite der-j- est pr£cis£ment r ^ ou dft est quelconque, ainsi
dr
tangV =
dr
Consid£rons (fig* u) la tangente MT en M a une courbe
Fig. 11.
rapporlee a des coordonnles polaires, et la normale MN ; par le p6le O, menons NT perpendiculaire au rayon vecteur, OM = r, du point M ; posons
ON = S rt , OT = S,, MN = N, MT = T; L. — Traite d' Analyse, II. 3
les lignes S«, S (t N, T sont appel^es la sous-normale, la sous-tangente, la normale et la tangente polaires. On trouve, sans difficult^,
r dr * n ~ tangV ~ dti'
S/= rtangv = — i — >
Toutes les courbes qui ont mime sous-normale pour un mime
dr angle polaire 8 ont mime -«r ; si done on appelle retr' les
rayons vecteurs de deux de ces courbes, on a
dr dy db ~~ db
ou
r = r'-r- const.
On obtient done Tune des courbes en prolongeant les rayons vecteurs de l'autre d'une quantity constante. L'une des courbes est dite la conchoide de l'autre; on voit que, pour mener la normale a la conchoide d'une courbe, il suffit de savoir mener la normale a cette courbe, et de construire sa sousnormale; on aura ainsi celle de la conchoide et, par suite, sa normale.
II ne faut pas confondre la conchoide d'une courbe avec la courbe parallele a celle-ci. Une courbe para lie le a une autre s'obtient en prolongeant les normales a celle-ci d'une quantity constante. Le thiorfcme de Poinsot donne tout de suite la normale a la courbe parallele; si Ton appelle p la quantity dont on a prolong^ les normales,
f = p — const. = o
est liquation de la courbe parallele ; sa normale est la r6sul-
tante d'une seule droite igale a -£- =: i , portie sur la normale
a la courbe proposie : elle a done mime normale que la courbe proposie.
GEOMETRIB PLANE. 35
Si dans une courbe la sous-normale R est constante, on a
-ja = K, r = K8 -+- const. ;
la courbe est une sorte de spirale a laquelle on donne le nom de spirale d'Archimdde ou de Conon. Les concho'ides de ces spiral es sont encore des spirales £ gales, comrae on peut s'en assurer par un changement d'axe polaire.
Soient r et r 1 les rayons de deux courbes qui, pour un m£me 6, ont m^me sous-tan gen te; on aura
r*db dr
dr 1
dr
dr'
on en conclut
-h const.
Si Ton cherche les courbes dans lesquelles la sous-tangente est constante et £gale a K, on a
ou bien
JL ^r /•* rfB ~
- = const. -+- K8.
Ces courbes portent le nom de spirales hyperboliques ; dies se ramenent a la forme r9 = const, par un changement d'axe polaire.
Parmi les courbes dont il est inte>essant de trouver la tangen te en coordonn£es polaires, se trouve la courbe transcendante appel6e spirale logarithmique ; son equation s'obtient en ^crivant qu'elle coupe tous les rayons vecteurs sous un angle constant; tangV est alors constant, et Ton a
- 5r =tangV
ou
i dr .
?rfe = colV;
CHAPITRB I.
on en deduit
logr = cotV
sans aj outer de constante, ce qui revient a faire tourner l'axe polaire. Liquation pr6c£dente revient a
r = e° coiy .
M. Pillet a reconnu que les volutes de plusieurs chapiteaux ioniens et corinthiens e*taient fornixes de spirales logarithmiques. On voit facilement que, quand une spirale de cette nature tourne autour de son p61e, elle reste homothetique a elle-me'me.
La spirale logarithmique tourne ind£finiment autour du pdle, qui est pour elle un point asymptote.
L'e'quation de la tangente a une courbe en coordonn6es polaires est celle d'une droite
(i) - = AcosO -+-B sinO,
qui passe par les points R, 8 et R -f- rfR, 8 -f- dS infiniment voisins surla courbe ; les coefficients A etB seront alors determiners par les Equations
^ = A cos© -+- B sin©,
I g-+-rfg = Acos(e-4-e/e)-hBsin(e-+-rf6); on peut remplacer la seconde par (3) d± = — AsmedB -+-B cosed*;
MX
l'elimination de A, B entre (i), (2), (3) donne liquation de la tangente
- = g cos(6 - 8)- -£ sin(6 - 6).
GfiOMfiTRIE PLANE. Zj
