XVIII. — Des podaires

Si d'un point O on abaisse des perpendiculaires sur toutes les tangente s a une courbe, le lieu des pieds P de ces perpendiculaires est la podaire du point O par rapport a la courbe en question.

liquation d'une tangente a la courbe propos^e au point M,

Fig. ia.

(a, p); le point P sera donni par l'equation (i) et par la suivante (on suppose le point O a 1'origine des coordonn£es)

si, entre (i) et (2), on ^limine ^9 on a

7(7 — P)=— x(x — a) ou

(3) x t -\-y t — $y — aar=o;

c'est Inequation d'un cercle passant par O, P, M et ayant son centre au milieu de OM. Cherchons la tangente en P a la podaire ; son Equation est

38 CBAPITRE I.

or de (3) on tire

zxdx-hzydy — $dy — oidx —y d$ — x d% = o ou, en vertu de (2),

dx{ix — <*)-hdy(2y — P)=o

ou

dy __ ix — a dx ~~ iy — (3

Liquation (4) devient alors

mais — ~~q est le coefficient angulaire de la tangente au

ix — a

cercle (3) menee par le point M; done la normale k la podaire d'une courbe passe par le milieu du rayon vecteur OM de cette courbe.

On peut le d^montrer par des considerations synth^tiques, en observant que, si Ton considere une tangente M' V iniiniment voisine de MP et le point F de la podaire infiniment voisin de P sur cette tangente, les points P et P' seront sur un cercle d£crit sur OH comme diametre ; or, la droite PP' £tant k la limite la tangente k la conchoide et au cercle, le theoreme se trouve d£montre\ parce que la normale commune passera par le milieu de OH qui se confondra avec OM.

On voit que la podaire touche la courbe aux points M, tels que OM soit normale k la courbe.

Si Ton prend le point O par pdle et si Ton appelle r, 8 les coordonn^es polaires de M, et r { et 8< celles de P, on aura

d'ou

dr\n •

t = — arc tang^g

GEOMETRIE PLANE. 3g