I -r-p* q ox dq

on en conclut, ce que l'on vlrifie en dififerentiant,

{ logv/i-h/?* = logy-+-logv/?(7),

( log^i ■+■ q* = log/? -4- logvty(*)>

y et ^ designant des fonctions arbitraires. II faut faire attention que ces fonctions jouent le r6le de constantes. En effet, dans liquation (8), j', ainsique ses fonctions, sontregard^es comme des constantes.

Les formules (10) peuvent s^crire, en repassant des logarithmes aux nombres,

do to) j 1 -*-/>» =*Mn

( \->r-q*=p*ty(x),

d'ou Ton tire

4^4 CHAPITRB VI.

Si l'on 6crit que Ton a -/- = t^, on trouve

* oy ox

/© ■+- 1 fy -+- 1

ou, reductions faites,

(? -+- 0* (t + i) 1 Pour qu'une fonction F(x) jouisse de la propri^te

quels que soient x et y, il faut que F(.z) soit constant; par suite, en appelant ic une constante, on a

le premier membre de cette formule est la d£riv6e de • ;

on a done, en observant que ic est la d6riv£e de 2c/ et en appelant id une nouveile constante,

ou bien

de m£me

<?(<r) ~ (cj-f-c') 1 ,;

♦W = (c g lo' "'

c 7 d^signant une nouveile constante; si Ton porte ces valeurs dans les formules (i i), on trouve

p ~~ ~ y i— {cx-t-c* )*— (

cy + c')*' q ~ •-

et, par suite,

— \/i — {cx -+■ c")* — icy-*- c' )*

INF1NIMENT PBTITS DANS LES SURFACES. 4^5

ce qui peut s'^crire

On a done, en appelant h une constante,

OU

e'est liquation d'une sphere. Mais on peut encore satisfaire aux formules (10 bis) en prenant <p(j-) = '|(j?)= — i; elles deviennent alors

ce qui est liquation g£n6rale des d6veloppables isotropes (p. 3i6).

II r£sulte de la que la sphere est la seule surface r^elle dont tous les points sont des ombilics, mais nous voyons qu'elle partage cette propri^te avec les spheres imaginaires et avec les developpables isotropes.