V. — De la courbure des surfaces
La courbure d'une surface est une notion complexe, et elle ne peut pas se mesurer par un seul n ombre, comme on le fait pour les courbes. On donne une notion nette de la courbure d'une surface en d£finissant la loi suivant laquelle varient les courbures des sections normales a u tour d'un mime point. Cette loi est assez simple pour permettre, comme nous allons voir, de d£finir la courbure a l'aide de deux £l£ments settlement.
Rapportons une surface a son plan tangent et a sa normale prise pour axe des z ; son Equation sera de la forme
en effet, en d£veloppant z par la formule de Taylor, le terme
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ind£pendant de x et y sera nul, puisque pour x = o, y = o, on doit avoir z = o ; les coefficients de x ety sont nuls, puis-
qu'ils sont les coefficients directeurs -r- et -^ du plan tangent;
r , So, t d£signent alors les valeurs de -7-5 > ^~i~ 9 x~i pour
x = o, jK = o, 5 = 0.
La courbure d'une courbe, rappelons-le, est Igale au double de la distance d'un point de la courbe a la tangente au point infiniment voisin, divis^e par le carre de Tare, ou, ce qui revient au m£me, de la distance du point a la norm ale. Si bien que la courbure d'une courbe tangente a l'axe des x a
1'origine des coordonn£es est lim-^ (p. 369).
Ceci pos£, liquation d'une section normale de la surface
faite par le plan
r = a?tanga
s'obtiendra en observant que, dans liquation (1), il suffit de remplacer x par Xcosa et y par Xsina; X d£signera alors l'abscisse d'un point de la section dans son plan compt£e sur le plan des xy. Cette section a done pour Equation
z = — (r cos'a-h 2$ sin a cosa-H t sin 1 a)-*-. . . ; •2
la courbure de cette section, ou la limite de Yi' sera donn£e par la formule
(a) — = r cos*a -t- 2*0 sinacosa-f- t sin 1 a.
La courbure d'une section normale varie, comme l'on voit, de la m£me fa$on que Tin verse du carr6 du rayon vecteur de la conique representee par liquation
r$x* -f- 2.s ary -4- t y* = 1.
On a donne* a cette conique le nom d'indicatrice. On voit qu'elle a son centre a 1'origine.
Voici maintenant les consequences de cette the'orie :
i ° On peut toujours diriger les axes de mani&re a f aire ivanouir le lerme enxy, c'est-a-dire le -r— -7- de la surface
en mime temps que -^ et j- •
II suffit pour cela de prendre, pour axes de coordonn£es, les axes de l'indicatrice et la normale a la surface.
2 Les plans qui passent par la normale et les axes de l'indicatrice s 1 zjipellenl plans principaux, sections principales ; dans ces sections R est maximum ou minimum.
3° La somme des courbures de deux sections rectangulaires est constante.
En effet, la somme des carr£s des inverses de deux diametres rectangulaires dans l'ellipse ou l'hyperbole est constante.
Ces propositions, qui resultent des propri^tes de l'ellipse et de riiyperbole, pourraient se d^duire de la discussion de la formule (a) ou elles sont en Evidence.
Les rayons de courbure des sections principales portent le nom de rayons de courbure principaux. Avant de montrer comment on peut les calculer directement et sans transformation de coordonn^es, pour un point quelconque d'une surface, nous ^noncerons quelques propriety de l'indicatrice.
L'indicatrice est la limiie d'une courbe semblable a la section faite dans la surface par unplan qui se rapproche indefiniment du plan tangent, en lui restant parallele.
En effet, rapportons toujours la surface a son plan tangent et a sa normale, l'equation de la surface sera de la forme
z =l(r x*->r2S a:y-*-tQy*)-±- -,
2 ddsignant des termes du troisieme ordre en x, y. Coupons par le plan z = - > la section aura pour equation
h = r x* -h is^xy -+- t Q y* -+- 2,
ou
r {^y^7KA +i {%y^
On aura une courbe semblable a celle-ci en posant
et alors -r tend vers z£ro, si Ton suppose que X et Y conser-
vent des valeurs finies; a la limite, cette courbe, semblable a la section en question, sera representee par liquation
i= r X»-ha* XY-WoY*; c'est l'indica trice.
Remarque. — II est bon d'observer, toutefois, que, si le plan tangent au point considere etait surosculateur, quoiqu'il n'y eut point la a proprement parler de point singulier, nos conclusions tomberaient en defaut. La section par un plan infiniment voisin du plan tangent serait en general du troisieme degre* et pourrait eHre d'un dcgre superieur; car alors on auraitr = o, s = o, t = o, et il fa ud rait avoir 6gard aux termes du troisieme ou du quatrieme ordre.
Nous avons dit qu'un plan tangent coupait la surface suivant une courbe a noeud; cette courbe a pour Equation
o = \ ( roar 1 -+- 2S xy -+- t y*)-*- . . . ; l'ensemble des tangentes au noeud a pour equation
r x* -h is^xy -+- Uy* = o ; ce sont les asymptotes de Tindicatrice, ainsi :
Les tangentes au noeud de la courbe p rove nan t de ^intersection d'une surface par son plan tangent sont asymptotes de V indicatrice relative a ce point.
Cette proposition est encore vraie quand le plan tangent est surosculateur, pourvu que Ton appelle alors indicatrice
la courbe semblable a la section de la surface par un plan infiniment voisin da plan tangent et parall&le a ce plan.
Les d£riv£es secondes de z, en un point determine d'une surface, peuvent passer par toutes les valeurs possibles. II en r£sulte que l'indicatrice peut affecter toutes les formes des coniques a centre, depuis l'hyperbole la plus ouverte jusqu'a l'ellipse infiniment aplatie, ou syst£nie de deux droites parall&les.
Quand l'indicatrice est elliptique, le paraboloide osculateur iz =r x 2 -\- is^xy -f- t y 2 est elliptique, le plan tangent ne coupe pas la surface, le nceud £tant ici un point isol6, puisque les tangentes au nceud ou les asymptotes de l'indicatrice sont imaginaires. Les rayons de courbure principaux sont de m£me sens.
Quand l'indicatrice est hyperbolique, le paraboloide osculateur est hyperbolique, le plan tangent coupe la surface, les asymptotes de l'indicatrice sont les tangentes au noeud, qui est reel. La surface n'est pas convexe, on dit qu'elle est a courbures opposies. Les rayons de courbure principaux sont de sens opposes; deux rayons de courbure sont infinis.
Quand l'indicatrice est parabolique, le paraboloide osculateur devient un cylindrc parabolique, le plan tangent coupe encore la surface; la section presente alors ordinairement un rebroussement. Ce cas est caracterisd par la formule
Tous les points d'une surface developpable sont des points pour lesquels l'indicatrice est parabolique. L'un des rayons de courbure principaux est infini.
Remarquons enfin que les sections normales passant par les asymptotes de l'indicatrice ont des rayons de courbure infinis; par suite, le point de contact est pour elles un point d'inflexion.
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