I : y/i-t-/> s -i- q % = cose

Or on peut poser

z = j(r x*-+-zs o xy -h t y*)-h. . .,

'•<>, *o, to, ••• d^signant ^j, ^-^, jjpr • • • pour # = o, y = o, 5 = 0. On en tire

432 CBAPITRB VI.

et, par suite,

i cose — [i-f-(r a:-Wo.>') s -t-(so#H- hy)*] *

et, comme cose = i — — > on a

e2 — r * x * -h '2SQr xy -f- 2s t xy -+- /J^*-i-. • ■ : si nous divisons par le carre* de la distance t du point {x,y^ s) al'origine, - sera la courbure de la surface dans la direction <r ? et nous aurons

— = rJcos*a -+- 2 5 (r -h * )sinacosa-h jjsin'a, Pi

a d^signant Tangle que <r fait avec l'axe des x. Si R et R' d^signent les rayons de courbure principaux de la surface au point consider^ et si Ton prend les sections principales pour plans des xz et desjK^, on trouve

, v i cos 1 a sin 1 a

Cettc forraule est de M. Bertrand.

On voit que p t varie comme le rayon vecteur d'une ellipse dont R et R' seraient les demi-axes.

Soit a' la direction conjuguee de a par rapport a l'indica,trice, qui, comme l'on sait, est la courbe

x* y 1 R R' ' on aura

(a) tang a tang x'= — — .

Mais, en appelant -r la courbure dans la direction conjuguee

de a, (i) donne

-. i cos s a' sin 1 a'

{6) tf "" ~Ri~ "*" "TV 1 " '

Si entre (i) et (2) on ^limine successivement R et R/, on a les relations remarquables

sinx cos a

cos a sin 3

Pi ~ R '

Pi " R"

sin a cos a'

cos 3 sin a'

De ces formules on tire

Pi Pi RR'

j-zr, est ce que Ton appelle quelquefois la courbure de la

surface: on voit done que le produit — r est constant et

1 , . , plpl

6 gal a la courbure.

Combinons les Equations (1) et

1 __ cos* a sin* a p """ir"" 4 "^"

du paragraphe pr£c£dent; l^limination de a donnera

pj p\R^R7 RR'

Nous ferons encore connaftre une expression de la courbure — donnee par M. O. Bonnet (Journal de I'Ecole Poly-

technique, XXXV e Cahier).

A cet effet, appelons V l'angle que fait la direction a avec sa conjugu^e par rapport a l'indicatrice ; on a

cos* a sin*a

cos 1 a sin* 3

psinV = pi; on trouve done

1 i p t p sinV

C'est la formule que nous voulions £tablir.

434 CHAPITRK TI.

VIII. — Recherche des rayons de courbure principalis Soit maintenant

liquation d'une surface donn^e ; proposons-nous de calculer ses rayons de courbure principaux au point dont les coordonn^es sont x,y, z. Posons une fois pour toutes

CLX /jy d*

Soient x r = — , y f z= -£- 9 ~ f = -1 \ es trois cosinus direc-

ds J ds ds

teurs d'une tangente a la surface, passant par le point (x, y, z). Par cette tangente faisons passer une section norm ale et calculous son rayon de courbure. Au lieu d'appliquer les formules g6ne>ales, nous ferons usage de 1' artifice qui suit :

Menons deux plans normaux, inflniment voisins, a la courbe de section dont nous voulons calculer le rayon de courbure ; ces plans se couperont, corame Ton sait, suivant l'axe du cercle osculateur (p. 3^8), lequel axe rencontrera le plan de la courbe de section en son centre de courbure. Nous remarquerons, pour faciliter le calcul, que le centre de courbure est sur la normale a la surface qui est la normale en x, y, z a la section. Nous aurons done, pour determiner les coordonn^es du centre de courbure X, Y, Z et le rayon R de courbure, les Equations suivantes :

equation du plan normal ;

(4) (x-^'-ky-jXx'+cz--*)^!,

INFIIUMENT PBTITS DANS LBS SURFACES. 435

Equation obtenue en diflfcrentiant par rapport a s liquation pr£c£dente : ces deux Equations repr£sentent, conime on Pa vu, Paxe da cercle osculateur ('); enfin

Equation de la norm ale a la surface ou Ton a 6crit, pour

abr^ger, N au lieu de \/f'\ 4- /J -\-/l et ou R repr^sentera le rayon de courbure de la section.

L'equation (3) est contenue dans les formules (5), ce que Ton peut d'ailleurs verifier en observant que le r£sultat de reiimination de X, Y, Z ou de X — x, Y — y, Z — z donne ridentite*

qui exprime que la direction f K , / a , /a de la normale a la surface est perpendiculaire a celle de la tangente a la section consider£e x f ,y, *', et que Ton obtient d'ailleurs en diflferentiant (i) par rapport a Tare s. Des formules (4) et (5) on tire

Mais, en diflfcrentiant liquation (6) par rapport a Tare s de la courbe dont on cherche le rayon de courbure, on a

( ' ) Soit P = o l'equation sous forme abrdgee du plan normal ;P+rfP = o

sera celle du plan normal voisio, et ces deux Equations rep resen tent l'axe

du cercle osculateur; la seconde peut etre remplacee par dP = o, combi-

dP naison des deux Equations, ou par —r- — o : e'est liquation (4) du texte.

436 GHAPITRB VI.

liquation (7) prend alors la forme suivante pour le calcul du rayon de courbure R :

Si nous posons, pour abr£ger,

nous pourrons 6crire ainsi liquation pr£c£dente

Pour trouver les rayons de courbure prinfeipaux, il suffit de

calculer le maximum et le minimum de ^ quand on fait varier

la direction x [ \ y, z f de la section normale. On a, pour la condition du maximum et du minimum,

do do dtp

(8) O = gj <**'+ £ <fy> + £ Mi

les quantitls od , y y z' sont li£es entre elles par les relations (9) fi*-*-f*y+fi*=o:

c'est la relation (6), et

d'ou Ton tire

(11) ( o = afdJ+ydy+*'dz'.

Si Ton applique aux formules (8) et (1 1) la m£thode des multiplicateurs, on obtient les trois formules

INFI5IMENT PBTITS DANS LE8 SURFACES. fij

ou \ et [jl designer] t deux param&tres a £liminer. En £liminant \ p., x', y, z ! entre (7), (9), (io)et(ia), on a liquation qui

fait connattre le maximum et le minimum de -^; pour obtenir

la r£sultante, nous £liminerons d'abord \ en multipliant la premiere formule (1 2) par x\ la deuxteme parj^, la troisi£me par z'\ en ajoutantet en ayant egard a (7), (8), (9)et(io), on

a -5 [jl = o, ou p. = —' En rempla^ant alors dans (12)

|A par cette valeur et -p>> ',> -p par leurs ddveldppements, puis en divisant par 2, on trouvera

/«*'-*- f /ti -4- ^ J/h-/m*'-+- i */i = o, /3iar'-+-/8»/-+- f/n+ g j *'-+- £ X/ 8 = o,

En 6liminant #', j^, 5', \ on a Inequation aux rayons de courbure principaux

/si /a j

^ unefois connu, les Equations (1 3) ferontconnaitre x f , y 1 , z\ c'est-a-dire les directions des sections principales.

IX. — Discussion de l'equation aux rayons de courbure principaux.

Theoreme I. — L } equation (i4) aux rayons de courbure principaux est du second degre, elle a ses deux racines rielles (si la surface f= o est reelle).

Si nous posons

f\i f\t fit ft

A\ A* ftZ ft

A\ /si fas A

on poarra 6crire liquation (i4) ainsi

N / de R\4At

*/il/

Liquation (i4) est done bien du second degr6, et il esl bon d'observer que 9 n'est autre chose que le hessien de/, a un facteur constant pres.

Pour prouver que cette Equation (i4) a ses racines reelles, on remarque que, si ces racines e"taient imaginaires, on en d£duirait pour X*, y, z' 9 \ deux systemes de valeurs conjugu6es ; designant le premier systeme de valeurs par x f ,y, z', \ et le second par x n r , y, z", V, on trouvera, en multipliant la premiere formule (i3) par #", la seconde parj^, la troisieme par 3" et en ajoutant,

f uX 'x'+f 23 (zy+yz')+...^-^(x'af+ Y y"+z~');

le coefficient de \ disparait en vertu de/ t of -\-f*y +f* * = o. En appelant ^ la valeur conjugue*e de ^ > on trouve d'une fac,on analogue

fn*' a? +fn(z'y -±-y z') + . . .= — -.p (x'x*+y'y+z'z'') = o;

on en tire

done, comme ^ est different de -^,j puisqu'ils sont conjugu^s,

x' x* -\- y' y" ->r- z'z* = o, ce qui prouve d'abord que les directions princi pales sont rec-

tangulaires, et ensuite qu'elles ne sauraient fitre imaginaires, car x , a?= (mod#') a ; on aurait done

(moda?') J -h(mody) s -h(modV) 1 == o,

ou x , =y r = *= o, ce qui est en contradiction avec la relation a' 2 -\-y 2 -+- z f2 = i , a laquelle sont assujetties les quantity X 1 , y } z*.

Probleme. — Chercher les conditions pour que liquation (i4) ait une racine double.

Si nous appelons V le premier membre de cette Equation, on aura a la fois

dV dV dV av

et V = o, si liquation (i4) ou V = o a des racines Igales. Or on a (t. I, p. i5g)

d\ dv /avy

multipliant (16) par — - ^— » on trouve alors, en rempla-

$ant — j^r- — j^-r- > • • • par leurs valeurs tiroes de

Inequation pr£c6dente et de son analogue,

T^ifj] * (.777) HwJ-

Cette formule et ses analogues montrent que les mineurs de V

44<> CHAPITRB VI.

relatifs aux 61£ments qui n'appartiennent pas a la derni£re ligne et a la derni&re colonne sonl nuls (au moins dans toute surface r^elle).

En ^crivant toutes ces conditions, on tire

Si aucune des deriv^es / 4 ,/ 2 , / 3 n'est nulle, l'elimination ue jr donne

/?/«3 — /l/l/tl — A/i/i J

/i/13 — f if if it — /2/1/23 -f- (/« /i/11 — /3/1/13 — /3/2/13

(/1/1/13 +f if if it —A 1/2/3 --/?/js)

(A/3/11 -K/i/l/is -/22/1/3 —/i/13)

seulement. Et ces Equations peuvent encore s'dcrire