IH

/t/ti -/I (/ii/i +/»/•)

flflfsftt fififzfts-

Si I'une des quantit£s/i,/ 2 ,/ 3 est nulle, /i par ex em pie, en

vertu de la quatrtemc Equation (17), il faudra que Tune des

N quantites/ 2 ,/ 3 soit nulle, ou que/ H -+- =r = o, et l'on devra

reprendre le syst6me (17) tout entier pour en faire la discussion.

II est facile de voir que les points ou les deux rayons de courbure principaux sont £gaux sont des ombilics, d'abord directement au moyen des Equations (18) qui se r^duisent a

/i/is-H/s/iJ — o,

/3/il-+-/l/23 = 0,

f\ft% -+-fifn = o,

pq 1-hp* I-4-y*

et determinent les ombilics (p. 42 1); ensuite en observant que, si les deux rayons de courbure principaux sont £gaux, I'indicatrice est circulaire, et il existe une sphere osculatrice.

Les Equations (19) permettent de compter les ombilics d'une surface de degr£ m. En eflfet les ombilics de la surface /= o sont a Intersection de la courbe (19) et de la surface /=o; la courbe (19) est elle-m6me l'intersection de deux surfaces de degr£ \m — 5. II y aura done {^m — 5) 2 m points d'intersection; mais tous ces points ne sont pas des ombilics. En effet, les Equations (19) sont satisfaites pour

bien que Ton puisse toujours supposer qu'en un ombilic on n'ait pas/i = o ou/ 2 = o ou/3 = oau moyen d'une transformation de coordonnees. Or les Equations (20) determinent sur la surface f= o

3m(m — i)(im — 3)

points qui ne doivent pas compter parmi les ombilics; il reste

done

m(km — 5)* — 3m(m — i)(a/n — 3)

points qui pourront etre des ombilics. En faisant le calcul, on constate qu'une surface d'ordre m peut avoir au plus

m( lorn* — a5m -+- 16) ombilics.

Pour m= 2, on trouve qu'il y a 12 ombilics. Les ombilics des surfaces du second ordre sont done au nombre de 12 et ^videmment aux extrlmites des diam6tres conjugu£s des sections circulaires. Verifions-le.

44* CHAPITRE YI.

Conside>ons rellipsoi'de repr&ente' par liquation

Les formules (19) appliqu£es a ce cas donnent

xyz xyz xyz

et il semble qu'il n'y ait pas d'ombilics, les solutions x = o, y = o, 5 = one devant pas necessairement compter. Mais il faut examiner le cas oil/, = et avoir recours alors a toutes les formules (17). Si Ton y suppose x = o, elles donnent

c'est la solution connue.