X. — Suite de la discussion precedente
Si, dans liquation (14) qui fait connaitre les rayons de courbure principaux, on suppose f=tp(x,y) — z, elle devient, apres avoir ete de\eloppee,
N repr^sentant ici y/i .-+-y> 2 -+■ <7~- Le produit des courbures
principales est done — Ni — • Si done rt — s' 2 = o, Tune des
courbures principales est nulle, Tun des rayons de courbure principaux est infini; il en rlsulte que, dans les surfaces de* veloppables qui sont caracterisees par la relation rt — s 2 = o, un rayon de courbure est infini. Si le plan tangent touche une surface sui vant une ligne, le long de cette ligne, on a rt — s 2 = o (p. 3og) et un rayon de courbure le long de cette ligne est infini; de pareilles lignes sont ce que Ton appelle des lignes de points par aboliques } les points ou Ton art — s 2 = o elant ce que Ton appelle des points paraboliques.
Pievenons a liquation (i4)« Le terme independant de R est
INFINIMBNT PBTITS DANS LBS SURFACES. 443
le determinant 9; en l'egalant a zero, on obtient les points paraboliques, et, s'il est identiquement nul, la surface est developpable.
II est facile de voir que la relation 9 = o est equivalente a liquation
fn
Ai
obtenue en egalant a zero le hessien de la fonction f rendue homog&ne par 1'introduction de la variable t.
Pour le prouver, il suffitde multiplier la premiere colonne du determinant 9[formule (10)] par x, la seconde par j', la troisieme par 3, la quatrieme par m — 1 et de retrancher la somme des trois premieres de la demiere, laquelle aura alors pour elements tfw, tfi\<, J/juj */*• Multipliant alors la premiere ligne par x, la deuxieme par j', la troisieme par z, la quatrieme par m — 1 et re Iran chant la somme des trois premieres de la derni&re, on obtient le hessien de/.
Liquation 9 = o determine sur la surface / = o une ligne de points paraboliques, 9 est de degre J\{m — 2) : la ligne des points paraboliques est done de degre 4 m { m — 2 )i *' n'y a done pas de ligne de points paraboliques sur les surfaces du second ordre non developpables.
La ligne des points paraboliques s£pare en general la surface en deux regions : sur l'une la surface est a courbures oppos£es, sur l'autre elle est convexe.
Pour que deux rayons de courbure soient inflnis, il faut que Ton ait non seulement 9 = o, mais encore
<yii ~<>fi% Jf™
Cette equation est de degre 3 m — 4? liquation 9 = o est de degre 4(/w — 2); par suite, il y a, sur toute surface d'ordre m, \m(m — 2)(3m — 4) points ou deux rayons de courbure sont infinis.
XI. — Discussion des equations qui font connaitre les sections
principales.
Ces Equations sont [(i3J du § VIII]
(a) /ii^'+L/isH- i()/ + /«*' + i tyi = °>
(3) /ai^'-i- /»«/+ (/m -+- ft)*'-*" ^ V» = °i
Si Ton appelle R et R, les rayons de courbure principaux, x\ y', z ! et x\i y\, z\ les valeurs correspondantes des cosinus directeurs des tangentes aux sections principales, X, Y, Z et X|, Y n Z| les coordonne'es des centres de courbure principaux; on aura d'abord, en multipliant (i), (2), (3) par x\,y\ f z\ et en ajoutant,
a + g {x'x\ +yy x + z'z\ ) + £ (*>/, -4-y/, + ^/ 3 ) = o
ou, en vertu de (4),
Q = -^{x'x\+yy l + z*z\) 1
Q de'signant une fonction du second degrc* de x' 9 y 1 \ d et x \iy\i z \ 5 on trouverait d'une fa^on analogue
il faut en conclure, si R^R,,
(5) Q = o, x\x'-+-y i y-hz\z=o;
ce qui prouve que deux sections principales, en un point ou
les rajons de courbure principaux sont in£gaux, sont toujours rectangulaires. On a .
d'ou
dX = dx -h ^ d/i -+- /i d jj ,
On en d£duit, en vertu de (4),
a/dX-H/rfY-t-s'dZ (6) * ^a/dx+ydy + z'dz+^ix'dfi+ydft-hz'dfi);
or de (i), (2), (3) on tire aussi, en les multipliant par dx, dy, dz et en les ajoutant,
N x' dfi-¥- / dfa->r z' dj z ->r |j (x'dx+ydy-\-z'dz) = o.
Cette Equation multiple par == et ajoutee en croix avec (6)
donne
x , dX+/dY + z'dl = o; .
ce qui prouve que le d£placement rfX, dY 7 dL eflectue sur le lieu des centres de courbure principaux est perpendiculaire a la tangente a la section principale; le plan tangent au lieu des centres de courbures principaux est perpendiculaire a cette tangente, et, par suite, il coincide avec une section principale; ainsi :
Le lieu des centres de courbure principaux est Uenveloppe des plans des sections principales.
Cette propria t& rappelle celle des d^velopp^es. Mais Tana-
446 GHAPITRE VI.
logie est loin d'£lre complete, car une surface quelconque ne peut pas £lre regarded comme le lieu des centres de courbure d'une autre surface.
En effet : la surface a deux nappes lieu des centres de courbure d 7 une surface donnee doit jouir de cette propriHe que, de quelque point de Vespace qu'on la regarde, les contours apparents des deux nappes semblentse couper a angles droits.
Pour le prouver, placons Foeil en un point quelconque et consideVrons la normale a la surface passant par l'oeil; deux plans principaux passant par Foeil toucheront la surface lieu des centres de courbure et seront les plans tangents au cdne circonscrit mene* par I'osil conside're* comme sommet de ce cdne. Ce c6ne se composera done de deux nappes orthogonales, ce qui d^montre le the'oreme dnonce\
La recherche du lieu des centres de courbure principaux d'une surface pr£sentera, en general, de grandes difficultes; mais il sera facile de trouver son Equation tangentielle, comme nous le verrons sur un exemple.
