XII. — Sur une propriete de maximum relative aux rayons
de courbure.
Cherchons le maximum et le minimum de la distance d'un point (a, (3, y) a une surface. Soit (x } y, z) le point de la surface re"pondant au maximum. Pour ce point la diflferentielle de (x — a) 2 + (jK— (J) 2 -J- (3 — y) 2 doit Sire nulle, et Ton a, en egalant a zero les deux d^rivees de cette expression, prises par rapport k x ely,
(!) ar — a-Hp(« — y) = o, y — ? -+- q(z — y) = o;
si Ton regarde a, (3, y comme des coordonne\es couranles, ces Equations representent la normale en x,y, z\ done la solution s'obtient en menant par a, (3, y une normale & la surface. Mais discutoas la solution et formons la diflferenlielle
seconde de (x — a) 2 + (y — (3) 2 + (z — y) 2 ; elle est £gale, a un facteur positif pr6s, a
( [ I " 4 "/ ?l "+" r ( z — f)]dx* ■+- *[pg -+-s(z — f)]dxdy \ H-[l -4- ?*-+-*(* — y)M>''-
Plagons Porigine en x, y, 5, et prenons pour plans de coor-
donn£es les sections principales et le plan tangent en ce
point; on auras = o,/> = 0, q = o, 5 = o, et Texpression (2)
deviendra
(1 — r*()dx*-h(i — ty)dy*.
Pour que cette quantity conserve le mgme signe, il faut que (1 — Y^)(i — yJ)>o. Orret t sont les inverses des rayons de courbure principaux; en appelant R et R/ ces rayons, on a done
si R et R' sont positifs, on doit trouver
Par suite, pour qu'il y ait maximum ou minimum relativement a une surface convexe, il faut que le point donn£ ne soit pas compris entre les centres de courbure principaux. Si R et R' sont de signes contraires, la formule (a) revient a
done, dans le cas d'une surface a courbures oppos^es, il faut que le point donnd soit compris entre les centres de courbure principaux pour qu'il y ait maximum ou minimum.
Les centres de courbure peuventdonc se definir : des points pour lesquels la different ielle premiere de
est nulle et pour lesquels la diffirentielle seconde est un car re par fait (p. 346, t. I).
lis sont done fournis par la formule (1) d'une part, et par
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la formule obtenue en £crivant que (a) est un carr£, ce qui donne
[pq -f- s(z - y)] 2 = [l -4-/>* -4- r(z — y)J[i -+- q* -f- 1 (z — Y>]i
or on a z — v = — : liquation aux rayons de cour-
bure principaux est done
Cette Equation d6velopp£e devient identique a celle que nous avons trouv^e plus haut; mais sous cette forme elle se prfite mieux a la discussion.
Veut-on prouver, par exemple, qu'elle a ses racines r^elles, on P^crira ainsi, en posant i +/? 2 -i- q 2 = N a ,
N substituant alors dans le premier membre, a la place de ^ >
on trouve les signes suivants, en observant que (i-\-p 2 ) ( l ■+■ q 2 ) — p 2 q 2 ou i h-/> 2 -h gr 2 est positif ,
Done j et 5 peuvent servir a s^parer les racines qui
sont toutes' r^elles. Pour que deux racines deviennent egales, il est n£cessaire qu'elles deviennent alors toutes deux Egales a
r et a r; on doit par suite avoir
mais liquation (3), dans cette hypo these, donne
on a done en un point ou les rayons de courbure sont £gaux
