XIX. — Enumeration de quelques podaires
i° Podaire du cercle. — La podaire du cercle est une conchoide de cercle (p. 34).
Eneflet, soient(y?£\ i3)Cle cercle, Oun p6le fixe, MP une
tangente au cercle, OP une perpendiculaire a cette tangente; menons CA paralleled MP; le lieu du point A est un cercle d£crit sur OC comme diametre; AP £tant constant et egal au rayon du cercle C, on voit que le lieu du point P est a la fois la podaire du cercle C et la conchoide du cercle de'crit sur CO comme diametre.
Quand le point O est sur le cercle C, la podaire prend le nom de cardioide.
L'equation polaire du cercle d^crit sur CO = a comme diametre £tant r = acosQ, celle de la conchoide sera
r — a cos8 -+■ const.;
ce sera aussi celle d'une podaire quelconque de cercle.
2 Les podaires de coniques seront ^tudi^es plus loin parmi les courbes anallagmatiques.
3° La podaire d'une parabole, en prenant pour pdle le pied de la directrice sur l'axe, est ce que Ton appelle une strophoide.
La strophoide pr£sente un mode de gdn£ration qu'il est bon de connaitre.
Soient (fig. i4) F l e /°y er ) S le sommet d'une parabole, O le pied de la directrice, PT une tangente, P le pied de la perpendiculaire men£e de O sur cette tangente. Si du foyer F
4o CHAPITRB I.
on abaisse FK perpendiculaire sur la tangente, K sera sur la tangente SK au sommet. Soient M le point ou SP rencontre la directrice, I le milieu de PK; les angles FK.S, KSI, ISP,
Kig: i4-
SPO sont egaux; or MOP = ISK, done ISK = MPO, done MO = MP, et l'on a le mode de g6n£ration suivant de la strophoi'de :
Prendre un point fixe S et une droite fixe OD, mener le rayon vecteur SMP, prendre MP = MO ; le lieu du point P est la strophoi'de. La droite OP est un diametre de la courbe, ainsi que l'on s'en assure en cherchant liquation de la strophoi'de engendree comme il vient d'etre dit.
En prenant OT pour axe des x, OD pour axe des y et en faisant OS = a, on a, pour Equation de la strophoi'de,
ary*-\- x z -r- a(x* — y*)= o.
Les cercles ayant leur centre sur la parabole et passant par le pied O de la directrice sont tangents a la strophoi'de. Nous laissons au lecteur le soin de d6montrer cette proposition.
4° La podaire de la parabole, quand on prend le sommet pour p6le, est une cissoide; ainsi le lieu du point I est une cissoide. On peut donner de la cissoide le mode de gdn£ration suivant, imagine* par Diodes, inventeurde cette courbe.
Si Ton mene OA parallele k la tangente KT a la parabole, le lieu du point A sera le cercle decrit sur OS comme diametre. Les triangles JAO et IKS sont £gaux; done IS = JA.
On peut, par suite, pour engendrer la cissoide tracer un cercle, mener les rayons vecteurs issus de S, inener la tangente
GEOMETRIE PLANE. l\\
au point O diam£tralement oppose* de S, prendre J] = SA; le lieu des points I est la cisso'ide.
En prenant SK pour axe des y, SO pour axe des x et en posant OS = a, l'equation de la cissoi'de est
(T*-r-y* — ax)o a(x % ^-y*)~ o.
5° La podaire de 1'hyperbole 6quilatere par rapport a son sommet est une lemniscate de Bernoulli. Cette courbe en coordonn£es bi polaires a pour Equation
uv = c*,
c d£signant la demi-distance des p61es. Ge r£sultat est facile a verifier par l'Analyse.
Rappelons enfin que la droite est la podaire d'une parabole par rapport a son foyer, et que le cercle est une podaire de conique a centre relativement a Tun de ses foyers.
