XIV. — Application anz surfaces du second ordre
Consid6rons la surface
Aj7»-4-B^«-4-C*»=i;
pour cette surface, liquation aux rayons de courbure principaux s'^crit
o Aa?
kx
Cs
ou
Cette Equation d6velopp£e devient
(1 bis) g| -»- 5 [( A -+- B -f- C) N* — ( A»a?« -+- B»^» -*- C»**)] ABC = o.
On peut £crire cette Equation autrement. En effet, on peut
INFINIMENT PBTITS DANS LBS SURFACES. 45l
la consid£rer comme r^sultante de
( A-f- ~ J X -+- kx = o,
(B+'gjjt-f-B.y =o,
XAx-h y-Ry + vC-« = o,
ce qui donne
Si Ton appelle v la corde normale passant en x % y, z et p c la portion de la normale comprise entre le point (x,y, z) et le plan des xy, on a
v — ~ A^-j-B^-nC 1 **'
Liquation (i) peut alors s'^crire
JL i /g. A-hB-f-G , a\ AB R*~*~r\,- G Pc -T^C'p*- 05
on en deduit, en appelant R' et R 7 les deux rayons de courbure principaux,
ii A -+- B -+- C , a i R'^R""- Cp c ~v ; R'R"""
AB
i AB R'»
R' = C'R'» ° U R' = con9t "
dans l'hyperbolo'ide qui a trois generatrices rectangulaires
A + B + C=o, et Ton a
45a CHAPITRE VI.
La corde normale est alors moyenne harmonique entre les rayons de courbure principaux.
N Le lieu des points ou ~ a une valeur constante )» s'obtient
en faisant -^ = X dans (2), ce qui donne
On peut donner a cette Equation une forme remarquable en la combinant avec celle de la surface elle-m^me ; on a alors
XAa* XB/« XCs»
ou encore
Cette Equation repr6sente une surface homofocale avec la surface propos6e. Elle d6coupe sur la surface propos£e une s^rie de lignes que nous retrouverons sous le nom de lignes de courbure.
On peut observer que, en vertu de (1 6w), on a
