C N IN
Supposons maintenant R = p; cette equation devien
dra
i — ft *
d'ailleurs on aura
L'equation
(3) donnera alors
et Ton peut voir que cette Equation est salisfaite par ^ = \\ en effet, son premier membre devien t
c'est-a-dire £gal a l'unit£, en vertu de (i) et (4)^
On peut s'assurer egalement que les de>iv£es de (3)
sont satisfaites en prenant \ = —; dans cette hypothese, elles se r£duisent en effet a
la premiere est la definition de N 2 , la seconde combined avec la premiere donne
ou
a*Va* — X X
c'est l'equation qui definit les rayons de courbure en #, y y 5, quand on y remplace \ par ^- Ainsi done :
Pour trouver le lieu des centres de courbure principaux de I'ellipso'ide, il suffit de chercher son intersection avec la sphere (i) et d' ex primer que V Equation (3) a une racine triple : le centre de la sphire ainsi determine sera sur la surface cherchee.
Appliquons ce th^oreme : appelons X, [x, v, p les racines de l'equation (3) pour des valeurs donn£es de a, (3, y, R; cette Equation peut s'£crire
a«(63 — X)(c« — X)X H Ri( a «__X)(&* — X)(c»- X) = X(a« — X)(6« — X)(c*— X).
456 GHAPITRB VI.
Le produit Xjxvp dcs racines de cette equation est 6gal k
on a done
Si Ton change a 2 — \ en X', la meme Equation (3) prendra la forme
a* ft» Y» R» __
en chassant les dlnominatcurs et en dcrivant que le produit des racines est (a 2 — ^)(# 2 — t u )(# 2 — v )( a2 — p)> on trouve
__ (qi— X)(q»— pL)(a»--v)(a»-p) (fc«__ X)(6«-nX* f -v)(6« — p)
Prenons [x = v = p et les equations suivantes feront connaitre les centres de courbure de l'ellipsoide, ainsi que le rayon correspondant,
a 2 6 l c 2 Cette methode est de M. Darboux.
XVI. — Courbure des courbes tracees sur one surface ot* theorems
de Meusnier et 868 consequences.
Proposons-oous de trouver le rayon de courbure d'une courbe tracee sur la surface
(1) Mr, *) = o.
L'equation (1) sera Tune des Equations de cette courbe; quant a Paulre, nous ne l'ecrirons pas. Le cenlre de courbure de la courbe se trouve : i° sur Taxe du cercle osculateur, lequel a pour Equations
( (X — x)dx -t-(Y —y)dy -t-(Z — z)dz =0, (2) ( (X — a?)rf«a?-*-(Y— y)d*y -$-(Z — z)d*z = ds*\
2 sur le plan osculateur. II est inutile, je crois, de rappeler que les Equations (2) sont celles du plan normal et celles du plan normal infiniment voisin, dont on a retranche la premiere. Les formules (2) jointes a liquation du plan osculateur feront connaitrc les coordonn^es X, Y, Z du cenlre de courbure.
Mais ce n'est pas encore la que nous voulons en arriver. La premiere Equation (2) est celle d'un plan passant par la normale a la surface : cette normale rencontre done I'axe du cercle osculateur; cherchons le point de rencontre en question. Les Equations de la normale sont
(3) ~7r = rfr = ~7r = "'
p d£signant la distance du point de rencontre au point (#, jk, z). Si Ton ^limine X — x, Y — y, Z — z entre (2) et (3), on trouve :
i° L'identite'
(4) f\dx -+- f t dy +f*dz = o;
2° La for mule
(5)* J(/irf | *+/trf* i r +/•*-») = a*
ou
p ds*
N fid*x+J t d*y-*-f z d*z Or, en differentia tit (4), on a
fid^z -hf t d*y -*-f 3 d*z
= —(fiid*x-+-ft t d*y-i-fnd*J5-h2f u dydz-+-if l sdxdz-h ifudxdy);
par suite, (6) affecte la forme
IS <p(^, dy, dz)'
en d'autres termes, p ne depend pas de d' 2 x^ d*y } d 2 z, il ne depend que de dx, dy, dz. Done :
Les axes des cercles osculateurs de toutes les courbes tracees sur la surface et possedant la mime tangente en M rencontrent la nor male & la surface en M, au me* me point , qui est evidemment le centre de courbure de la section normale passant en M suivant la tangente considered
Fig. 38.
Soient
MT la tangente;
MO la normale a la surface;
CO Faxe du cercle osculateur d'une courbe dont CM est le
rayon de courbure ; O sera le centre de courbure de la section normale et Pon aura, en appelant y Tangle que le plan osculateur de la courbe fait avec le plan de la section normale,
MC = p cosy.
On peut done £noncer le th£or£me suivant :
Theoreme de Meusnier. — Le rayon de courbure d'une courbe quelconque tracee en un point d'une surface est la projection du rayon de courbure de la section normale passant en ce point sur leplan osculateur de cette courbe.
Corollaire. — Le rayon de courbure d'une courbe quelconque tracee sur une surface est egal a celui de la section faite par son plan osculateur dans la surface.
II est facile d'en conclure que le lieu des centres de courbure de toutes les lignes qui passent par un point donn£ d'une surface est une surface du quatrieme degre dont les sections normales sont circulaires et dont l'equation est
Ri et R 2 d£signant les rayons de courbure principaux en #, y, z. Cette surface est, bien entendu, osculatrice de la surface propos£e.
