XVII. — Theorems de Hachette

Nous representerons la courbure d'une courbe par une droite num£riquement dgale a cette courbure et port£e sur la normale principale. Lescomposantesde la courbure seront

, d z x cfiy d l z f o/? \ al0rS ^T'^'^(P- 362 )-

Consid&rons une courbe tracee sur deux surfaces

460 CHAPITRB VI.

en diffcrentiant ces Equations et en nous servant to uj ours des me'mes notations, nous aurons

x dx r dy r dz dx dy dz

et, en differentiant encore,

j. I dx\* . dx dy . d*x

F.^f^V+aF,, — ^+ +F. —

Si Ton pose -p==x' 9 ~j-=y,-^- = 2?et si Ton d£signe par

X, Y, Z les composantes de la courbure, on pourra £crire ainsi ces form u les

? (^/, 3 ')+/ 1 x + / 1 yh-/ j z = o,

en d£signant par <p et $ les termes du second degr£ en x', y J , z' qui entrent dans les formules pre*cedentes. On a d'ailleurs

Xj'+Y/+Z-'=o; de ces trois formules on tire

U; ^(/iF i -/ 1 F t )H-y(/ i F 1 -/ I F 1 )-HV(/ l F 1 -/ 1 Fi/

Supposons que, dans cette formule, on remplace F(£, r,, £) par (5 — #)F| + (7i — jk)F 2 + (£ — 5)F s , c'est-a-dire que Ton remplace la surface F = o par son plan tangent; en appelant X F la valeur que prend X, il viendra

(/F 3 -*'F,)<p ** ^(/^-/jF,)-^...'

INFINIMBNT PETITS DANS LE9 SURFACES. ^6l

on en conclut

Cette formule et ses analogues montrent que :

Theoreme de Hachette. — La courbure d'une courbe trade sur deux surfaces est la rhultante des courbures des courbes d' intersection de chaque surface par le plan tangent de V autre.